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重要 例題 167 対数方程式の解の存在条件
x の方程式{10g(x2+√2)}2-210g(x2+√2)+α=0
次の問いに答えよ。ただし,α は定数とする。
(1) log2(x2+√2) のとりうる値の範囲を求めよ。
TRAN
(2) ① が実数解をもつとき, αの値の範囲を求めよ。 TULO
(3)
αが (2)で求めた範囲の値をとるとき, ① の実数解の個数を求めよ。
CHART
OLUTION
対数方程式の解の問題
2730
おき換え [10g(x2+√2)=t] でtの方程式へ 変域に注意
(2) 10g(x2+√2)=tとおくと ① から -f2+2t=a
この2次方程式が(1) の範囲内で解をもつ条件を考える→
(3) x2=0 となるtの値に対して,xの値は1個(x=0)
x>0 となるtの値に対して、xの値は2個あることに注意。
解答
(1) x2+√2≧√2 であるから
よって10g(x+√2) 2012/2
(2) 10g(x2+√2)=tとおくと, ① からf2+2t=α X-
12/12/12
また, (1) の結果から
曲線 y=-f2+2tt≧
= 1/-)₁ (2)
と直線y=a･･・ ③ の共有点が存在
するための条件から, αの値の範囲は
a≦1
(2)について, x2+√2=2' を
満たすxの個数は
t= のとき x=0 の1個,
2
3
log(x2+√2)≧log2√2
ya
<a<1のとき 4個
4
3
4
t> のときx>0 であるから2個
|1
!!
a 1 1
★
2018=
10 1
2
!
H
I
1
2
よって,②,③のグラフの共有点から、①の解の個数は
3
3
a<- α=1のとき 2個;a=-
4'
......
2
のとき 3個;
00000
①について、
(3)
t
基本 159
グラフを利用
114
1og2√2 = 1/2
等号はx=0 のとき成立。
26387 (31
16
- t²+2t
=-(t-1)2+1
(X) $1
X5 S-X
←a=
3
=2のとき、1/12
から1個,t/1/2から
t>
2個の合計3個。
PRACTICE... 167③ x に関する方程式 10g2x-log4 (2x+α) = 1 が, 相異なる2つの
aarom
実数解をもつための実数aの値の範囲を求めよ。
(龍谷大
例
K
844 につ
ただし、
CHART
ES
(イ
解答
(ア) 81,
よって
44=4
(イ) 10g
ここ
LATIH
から
よっ
ゆえ
すな
した
PRE
10.
(1
(2
