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重要 例題120 素数の問題(余りによる整数の分類の利用)
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nは自然数とする。 n, n +2, n +4 がすべて素数であるのはn=3の場合だけで
あることを示せ。
〔早稲田大, 東京女子大]
指針▷ nが素数でない場合は条件を満たさない。
nが素数の場合について, n+2, n+4の値を調べてみ
ると右の表のようになり, n, n +2, n+4の中には必ず
3の倍数が含まれるらしい, ということがわかる。
よって, n=2,3のときは直接値を代入して条件を満た
すかどうかを調べ,nが5以上の素数のときは,
In, n+2, n+4の中にnが含まれている。
n 2 3:5 7 11 13
13 15
n+2
n+4 67
(11 15 17
○:素数,
:3の倍数
n=3k+1, 3k+2の場合に分けて, 条件を満たさない、すなわちn+2, n+4のどちらかが
素数にならないことを示すという方針で進める。
CHART 整数の問題 いくつかの値で小手調べ(実験)
解答
nが素数でない場合は,明らかに条件を満たさない。
nが素数の場合について
[1] n=2のとき, n+2=4 となり,条件を満たさない。
[2] n=3のとき, n+2=5, n+4=7で、条件を満たす。
[3]nが5以上の素数のとき, n は 3k+1, 3k+2(k は自然
数) のいずれかで表され
どて
(i) n=3k+1のとき
n+2=3k+3=3(k+1)
k+1は2以上の自然数であるから, n +2 は素数にならず
条件を満たさない。
(ii) n=3k+2のとき
n+4=3k+6=3(k+2)
k+2は3以上の自然数であるから, n +4 は素数にならず.
条件を満たさない。
以上から,条件を満たすのはn=3の場合だけである。
基本117
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規則性の発見
3数のうち, nが素数でな
<n+4(=6) も素数でない。
<n=3k(n≧5) は素数にな
らないがら,この場合は考
えない｡
の断りは重要。 k+1=1
とすると, n+2=3 (素数)
となるため、このように書
いている [(ii) でも同様]。
