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2階
基本例題 28 不等式の証明 [A'B'≧0の利用]
次の不等式が成り立つことを証明せよ。 また、等号が成り立つのはどのようなと
to let lotul0-60
きか。 +3 +pe
+8 (6)
(1) a≧0,b≧0のとき 5√a +3√6≧√25a+96
(2) a≧0,b≧0のとき √a+√6≦√2(a+b)
指針▷ (1) の差の式は5√a+3√6-√25a+96 であり,これから≧0 は示しにくい。
そこで、証明すべき不等式において, (左辺) ≧0, (右辺) ≧0であることに着目し
A≧0, B≧0のとき A≧BA≧B2
の利用を考える。
すなわち,まず (左辺)'≧(右辺) を証明するために, 平方の差 (左辺(右辺)2≧0を示
す。をはずして進める方法
【CHART 大小比較 差を作る 平方の差も利用
(0+dos+ D) 6+10/10087
解答
(1) (5√a+3√6)²−(√25a+9b
(+)120=18
=(25a+30√a √b+96)-(25a+96)
=30√a √6=30√ab ≥0
0≤(do-/do/)S=
Scal-
(OS 6 =a-2√ab+b
24854
よって
{√2(a+b)}²≥(√a+√b)²
√2(a+b)≧0,√a+√6≧0であるから
よって
(5√a +3√6)² ≥(√25a+9b)²
5 +3√60/25a+96 ≧0であるから利用で
5√a +3√b² √25a+9b
等号が成り立つのは, ① から a=0 または6=0 のときで √ab = 0
27202850
あるとみて、+1
(2) {√2(a+b)}²=(√a+√b)²=2(a+b)−(a+2√ab+b)
Tal+lol l
=(√√6)² ≥0 ...... Ⓒ
p.48 基本事項 3
02(100)+on)s
平方の差。
A≧0, B≧0のとき
A≧BA'≧B'
等号が成り立つのは,①からa=bのときである。
すなわち lab]=db から,abl
⇔A'-B'≧0
この確認を忘れずに。
平方の差。
(OTT) (S)
205/6+0/
(実数) 20
adin この確認を忘れずに。
29 √2(a+b)=√a+√6 ==?@@60-00+0,05/01-pl
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1章
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不等式の証明
