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は自然数とし、
(1) 次の不等式を示せ. (1+t)"≧1+ni+
n(n-1)+2
22
#00 (1+t)
(2) 0r<1 とする. 次の極限値を求めよ. lim
limnyn
00
(3) 0<x<1のとき, A(x) =1-2x+3x²+..+(-1)" lnz"-1+... とおく. A(x) を求め
lim nr=0 (0<r<1)
(株)(大阪教大一後/一部
これは∞x0の不定形であるが,nの1次式がに発散するより指数
数が0に収束するスピードの方がはやくて,"0になる, ということである (一般に多項式の発
り指数関数が0に収束するスピードの方がはやい) 指数関数を評価する (大小を比較する不等式を作
ある)ときは,二項定理を用いて (途中でちょん切って) 多項式で評価することが基本的手法である。
(2) は (1) とはさみうちの原理を使う、
解答
(1) n2のとき,二項定理により、
(1t)=Co+mCt+2++Cnt"
≧aCo+aCittaCaf?=1+nt+(n-1)ρ2 (10)
2
左右辺をf(t) とおいて)
分を使って(2回微分する)
こともできる。
が成り立ち、n=1のときもこの結果は正しい (等号が成立する)
(2) (1) から, 0-
22
1
(1+t)
1+nt+
n(n-1)+2
n-1
+1+
-+2
2
n
2
(1+
22
=0
#1-00 (1+t)"
①→0 (n→∞)により, はさみうちの原理から, lim
1
=rとおくと,0<<1のとき>0であるから,②から, limnr"=0
(3) A(x)の第部分をSとする.
S=1-2x+324++ (−1)"-1"-1
218
-)-S= -x+2x²−3x³++(−1)*¯¹ (n−1)x"¯¹+(−1)"nx"
(1+1)S=1-x+x² - 2³ +
+(−1)"-1"-1-(-1)"nx"
1-(-x)
=
1-(-1)
--(-1)"nr"
n1+x
(0<<1により、(x)"0(-1)"n" |="→0)
lim (1+x) Sn=
1+2
1
lim Sm
(1+x)2
T
・① ここでは、分母分子を
と分子が定数になることに
した、分母分子を割
もよい。
=-1
r
(-1)-1-(-)
により、
S=(-)
7=1
lim(-1)*r*|=0により、
2012
lim (-1)=0
