基本 例題 47
数学的帰納法と不等式の証明
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00000
25 を満たす自然数nに対して, 22 が成り立つことを数学的帰納法に
よって証明せよ。
CHART & SOLUTION
数学的帰納法 (一般
[1] 出発点は n=1 に限らず
[2] n=k の仮定から n=k+1 の証明
この例題では,n≧5 であるから,まず
[1] n=1のときの代わりに [1] n=5のとき
を出発点とする。
420 基本事項 1. 基本45
また, 不等式 A>B を証明するのであるから, A-B> を示せばよい。
解答
2">n2
......
① とする。
[1] n=5のとき
(左辺 =25=32, (右辺) =52=25
ゆえに,不等式① は n=5のとき成り立つ。
①
[2] k≧5 として,n=k のとき ①が成り立つと仮定すると
ときい)が成り立つと仮定
n=k+1 のとき,①の両辺の差を考えると
$50 (= 17
(左辺)=2+1
1章
5
数学的帰納法
2k+1_(k+1)=2.2-(k+2k+1)
>2k2-(k+2+1) +
(右辺)=(k+1)2
+2.2">2.k²
=k2-2k-1=(k-1)^2>05であるから
すなわち 2 +1(k+1)2
よって, n=k+1 のときにも不等式①は成り立つ。
[1] [2] から, n≧5を満たすすべての自然数nについて不等
式①は成り立つ。
(k-1)^2はk=5で
最小値 14 (>0) をとる。
INFORMATION
2 と n2の大小関係
関数 y=2*, y=x2 のグラフは右の図のようになる。
このグラフから2">n (n≧5) がわかる。
y.
16-
y=x2
これを繰り返すことに、
4F-
v=2
O
2
4x
