型
a1= 1, On+1 = 2an +2n+1 (n = 1, 2, 3, …….)......①
で定められる数列 {an) の一般項を求めよう。 ①は,
an+1 +
ア (n+1) + イ 1
2 (an
+
ア
[n+
と変形できるから, b = on+
ア n+ イ
とおくと,
bn+1 = 2bn
と表せる。
bm ==
H
(n = 1, 2, 3, ...)
であるから,
an =
ウ
1
H
オ n- カ
(n = 1, 2, 3, ...)
である。
解答
①が
an+1 + p(n + 1) + q = 2 (an + pr + g)
と変形できるとすると,
an+1 =
2an+pn+ (g-p)
であるから, p = 2,g-p=1 これより,p=2,g=3である。よって,①は
@n+1 +2(n+1) + 3 = 2(an + 2n+3)･･･ (アイ)
と変形でき, b = an +2n+3 とおくと
bn+1 = 2bn
より,{bm}は初項 α1 +2.1+3=6,公比が2の等比数列である。これより,
b = 6.2n-1 = 3.2 ... (ウエ)
であるから,
an +2n+3=3.2
On =3.2"-2-3･･･ (オカ)
...
ある。
