第5問 (16点)
次のような実験を行うことを考える。
太さが十分に小さく長さがしである, 曲がっていない針を1本用意する。
次に, 平坦な机の上に, 隣同士の直線間の距離がLとなるような平行線を多数描いておく
このとき、次の試行を1600回繰り返す。
試行 針を無作為に机の上に落とし, 机の上に落ちて倒れた針が机に描かれた平行線と共有点
をもつかどうかを確認した後, 針を机から取りあげる。
(1) 1≤k≤1600 +3.
k回目の試行について, 落ちた針が机に描かれた平行線と共有点をもつ場合は1, 共有点をも
たない場合は0となるような確率変数を X とおく. また
+ X=X+X₂++X1600 m
とする.
落ちた針が机に描かれた平行線と共有点をもつ確率を とおくと, Xは二項分布
Bア,
に従う。
で
また、実験回数の値1600は十分大きい数なので, 二項分布 B(
正規分布 N(m,) と見なすことができる。 ただし
・①
は近似的に
X-m
①
X-m
②
X-a
6
m
③
X-02
m
回の試行を行う形式を
形式をとることで, 今回の実験をすることができた。
のの結果、落ちた針が机に描かれた平行線と共有点をもった回数がクラス全体でちょうど
1000回となった。
_1000_5
R=1
1600 8
このとき、落ちた針が机に描かれた平行線と共有点をもつ状況の発生頻度
今回の実験結果から, (1) でおいたかの値の, 信頼度 95%の信頼区間を推定しよう
(i) 本間では, 正規分布表 (省略) を用いて答えよ。
1600
|標準正規分布 N (0, 1)に従う, (1)の確率変数Zについて, 正規分布表より
P(カキクZカキク)=0.95
が成り立つ。
(i)の結果より,標準正規分布 N(0, 1)に従う確率変数Zはおよそ95%の確率で不等式
ウ
m=
σ²= H
カキク ZSカ
キク
また, >0である。
をみたしている。
ここで, 確率変数Xが近似的に正規分布 N(m, ♂) に従うので, 確率変数Zを
a
である。
このとき,確率変数X, Zは関係式 ②
220
Z= オ
...2
Z= オ
TOCH
と定めると, Zは近似的に標準正規分布 N(0, 1)に従う。
をみたす。
er-14
ア
ウ
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
1
1
⑩ 1600
① 40
②
1
③
④
⑤ 1600p
6 40p
⑦カ
⑧
44
40
1600
D
40
1600
I の解答群
⑩ 1600p
① 40p
144
4 1600p(1-p)
40
p(1-p)
5 40p(1-p)
⑦
40
1600
ここで, ①よりm=
ウであり,これはかを含む式である
また,得られた実験結果では X=1000 であったので
3.081
X
1600
5
=R=
8
(1
が成り立つ。
さらに、①の
エ については,次の仮定を適用して考えるものとする。
仮定
エ
の式中に現れるかは,今回の実験での発生頻度Rの値
D
1600
p(1-p)
R=555
8
に置きかえて計算してもよい。
この仮定の下での値の信頼度 95%の信頼区間は
