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基本 例題
199 導関数の計算 (2)
展開してから微分
次の関数を微分せよ。
宅公
(2)y=(2x+1)3
(1) y=(x+1)(x-3)
(3) y=(x²-2x+3) 2
(4)y=(4x-3)^(2x+3)
指針 や累乗の形のものは、 展開してから、 公式を使って微分すればよい。
(x)=xnは正の整数), {kf(x)+1g(x)}'=kf'(x)+1g'(x)
(k,
別解のように, 次ページで紹介する, 次の公式①、②を利用してもよい。
① {f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (積の導関数の公式)
② {(ax+b)"}'=n(ax+b)"' (ax+b)'
一般に ({f(x)}")'{f(x)}"'f(x)
(1) y=x²+x-3x-3
(nは自然数
は定義
解答
よって
y'=3x2+2x-3・1=3x+2x-3
(2) y=(2x)+3(2x)・1+3・2x・12+1=8x3+12x2+6x+1
よって
y'=8・3x2+12・2x+6・1=24x2+24x+6
(+)
(3) y=(x2)2+(-2x)+32+2・x2・(-2x)+2・(-2x)・3+2・3・x2m
=x4-4x3+10x²-12x+9
よって y''=4x3-4・3x2+10・2x-12・1=4x-12x2+20x-12
(4) y=(16x²-24x+9)(2x+3)=32x³-54x+27-4x-377-5x-3)
よって
い
y'=32・3x2-54・1=96x2-54
別解 (1) y=(x+1)(x-3)+(x+1)(x-3)=1(x2-3)+(x+1) ・2x
3x2+2x-3
(2) y''=3(2x+1)3-1 (2x+1)=3(2x+1)^2=6(2x+1)^
(3)y'=2(x²-2x+3)2-1(x2-2x+3)、=2(x²-2x+3)・(2x-2)
=4(x-1)(x²-2x+3)
(4) y'={(4x-3)2}^(2x+3)+(4x-3)^(2x+3)、
={2(4x-3)2-1(4x-3)^}(2x+3)+(4x-3)^ ・2
まず、積の導関数。
={2(4x-3)・4}(2x+3)+2(4x-3)²=2(4x-3){4(2x+3)+(4x-3)}
=2(4x-3)(12x+9)=6(4x-3)(4x+3)
参考 別解の(2)~(4)の結果は、展開すると上の解答と同じになる。
■ 公式 ① {f(x)g(x)}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x), ② {(ax+b)"}'=n(ax+b)"-1 (ax +
式を展開せずに計算できる
