例題194 (x-a)°で割ったときの余り (微分利用)
305
重要
OOOO0
いての整式げ(x) を(x-a)"で割ったときの余りを, a, f(a), f(a)を用
の
いて表せ。
(早稲田大)
p.303 参考事項, 重要 55
O
6
A = B×Q+ R
割られる式
3
割る式 商 余り
2次式(x-a)で割ったときの余りは1次式または定数であるから
f(x)=(x-a)°Q(x)+ px+q [Q(x) は商, p, qは定数]
が成り立つ。この両辺をxで微分して,商 Q(x)が関係する部分の式が =0 となるよう
な値を代入すると,余りが求められる。
|| 答
fx)を (x-a)°で割ったときの商を Q(x) とし, 余りをpx+q
とすると,次の等式が成り立つ。
f(x)= (x-a)°Q(x) + bx+q
Oに-aをれへし
余りの次数は, 割る式の次
数より低い。
の
0 faji pa79
両辺をxで微分すると
fla): p
f(x)={(x-a)°YQ(x)+(x-a)Q(x)+p
=2(x-a)Q(x)+ (x-a)°Q(x)+b
0, ②の両辺にx=aを代入すると,それぞれ
f(a)=p
{f(x)g(x)}
=f(x)g(x)+f(x)g'(x)
{(ax+b)"}
=n(ax+b)"(ax+b)'
(p.303 参照。)
の
f(a)=Dpa+q
のから
p=f"(a)
よって, ③ から
したがって,求める余りは
9=f(a)-pa=f(a)-af'(a)
xf(a)+f(a)-af'(a)
