120. P(x1, y1) における接線の方程
式は,
Xix-yiy=4
….①
y=0 のとき, ①より,
X1
y=~=²x²
xx-4
Y1
y1
このときの直線 OH の方程式は,
y=-x,すなわち, yix+xy=0
X1
また, y=0 のとき, x=±2 で,①より, x=±2
このときの直線 OH の方程式は, y=0
よって OH OM=
一定となる。
M
y2x2=x2y2
YAxix-yiy=4
4
2
2
√√√x₁² + y₂²
②はy=0 の場合も含んでいるから ②と双曲線の交点Mの座
SA
標を求める。
双曲線の方程式より, yi'x2-yi²y2=4yi....… ③
②より, Vix=-xiy
両辺を2乗して,
これを③に代入して, xiye-vi'y2=4yi²
(x12-y12)y2=4y12
点Pは双曲線上の点より, x²-V1²=4
したがって, 4y2=4y² より, y=±y1
x2=y2+4=y²+4=x²
x2-y2=4 より,
x=±x1
したがって, 図より, 点Mの座標は,
これより, OM=x2+y12
OHは原点Oと直線 ① の距離であるから,
SP(x1,y1)
12
H M
XC
OH=-
(x₁, y₁), (-x₁, y₁)
40
√x₁²+y₁²
√x2+y²=4 となり, OH･OM は
OH, OM を x1 と y1 で表し,
OH･OM が一定となることを
示す。 そのために, まずMの
座標を x1 と y で表す。
400
①y=0, y=0 と場合分けする
ことを避けるため,このよう
な変形をしている。
