基礎問
220 第6章 積分法
120 回転体の体積(V)
曲線 y=(√x-√a)(x≧0,a>0)について,次の問いに答えよ。
(1) この曲線のグラフをかけ.
(2)この曲線と y=a によって囲まれた部分を直線 y=aのまわりに
1回転してできる体積Vを求めよ.
|精講
(1) 75の
をもう一度読みかえしてみましょう.今回は,極値
を求める必要がありますから, y' は因数分解することになります。
それならば、このまま微分した方がよいでしょう.
(2)今まで学んだ回転体の体積は,回転軸がx軸かy軸だけです.今回は,
y=a です。 いったい、どのように考えればよいのでしょう. 目標は, 「回転
軸をx軸に重ねる」ことです.
解答
(1) x>0 のとき
y' =2(√x-√a)·(√x - √ a) = x ½ (√√x -√a)
< x = 0 のとき,
y' の分母 = 0
となるので
=1-
√a
√x
a
y"=
->0
2x√x
IC 0
y'
...
y
a
-
0
+
a
y a
0 >
よって, グラフは下に凸で,増減は表のようにな
+0
→∞
り, limy'=-∞, limy=∞ よりグラフは右図.
a
O
注
limy' を調べているのは,y' がx=0 で定義されていない,すな
→+0
わち, 微分可能でないからです.y' が接線の傾きであることを考える
と, limy'=-∞は接線がタテ型に近づいていくことを表していま
x+0
す.だから, グラフにおいて点 (0,α) でy軸に接するようにかかれて
いるのです.
