数Ⅲ 陰関数の微分の問題です。 次のようにパラメータ表示された曲線について、dx/dyとd^2y/dx^2をパラメータの式で表せ、という問いです。解き方がわからないので教えていただきたいです🙇‍♂️ 　

(3) x = e" +e" 2 y e" - e-u 2

右側の表なんですけど、dx/dtが正、＋って、グラフの何処を表してるんですか？どこかの傾きですよね？

00000 基本例題 228 媒介変数表示の曲線と面積 (1) |重要 162, p.344 基本事項 曲線x=a(t+sint), y = a(1-cost) (0≦t≦) とx軸で囲まれた部分の 面積Sを求めよ。 ただし, a>0とする。 CHART 350 OLUTION まず, グラフをかく 面積の計算 ① 曲線とx軸の共有点のx座標(y=0 となるtの値) を求める。 (2) t の値の変化に伴うxの変化やyの符号を調べる。 s=Sydx (3) 積分区間 a≦x≦b において常に y≧0 のとき, 面積は これを,置換積分の要領で,tに関する定積分に直して計算する。 解答 0≤t≤2n ① の範囲で y=0 となるtの値は, 1-cost = 0 から t=0, 2π t=0 のとき x=0,t=2 のとき x=2πa x=a(t+sint) から =-=a(1+cost) y=a(1-cost) から dy 0≦t≦2の範囲でx=0 とすると dt dx. dt dy dt =a = asint よって,x,yの値の変化は右上のようになり, ① の範囲においては,常に JO dx t=0, π, dt ・dt= - ≧0 y≧0である。 JANSAS ゆえに、この曲線の概形は右の図のようになる。 ②より, dx=a(1+cost)dt であるから, 求める面積Sは S=Sydx="a(1-cost)・a(1+cost)dt =a² (1-cos²t) dt = a² sinºt d 2π (2π 2π 12π t=2²[t-sin2t] ²=na² t 0 dx dt x dy dt y + + 0 →>> YA 2a π 0 0 Ta 0 + 0 0 1 2a! 27 + + →→ t=0 1 t=π 2ла 0 0 (21-cos2t 2 inf. 0≦t≦2ｶ では y≧0であるから, 曲線はx軸の上側にある。よって、グラー かかずに,積分区間と上下関係から面積を計算してもよい。ただしtの変化に伴 t=2- Ta 2nX 置換積分により,の 分に直す xt の対 は次のようになる。 02na t 02π xが常に増加していることを確認すること｡ 重要例題 232 のように,x の変化が単調でないこともあるので注意が必要である。 OMTORO+x-

パラメータ表示された曲線 x=3t-t^3, y=3t^2 (tは実数全体を動く) で囲まれた領域の周囲の長さを求めよ。 という問題について教えて欲しいです🙇🙇 具体的なtの範囲がない場合、どのように解けば良いですか？

9番はx+4y+z=2で合ってますかね？ あと10番はどう解けばいいでしょうか よろしくお願いします。

問題 9. RS 内の直線Lのパラメータ表示が次で与えられているとする。 B-8-81 2 +t (tは任意の実数) (1) Lの方程式表示を求めなさい。 |0 (2) |1| は直線L上にあるか?理由とともに答えなさい。 |2 問題 10. R3 内の直線Lの方程式表示は次で与えられるとする: 三 2° (1) Lのパラメータ表示を求めなさい。 (2) L上の点pで, 原点oとpを結ぶ線分が, Lと直交するpを全て求めなさい。

7番のパラメータ表示は無しが答えですかね？ あと8番を教えて欲しいですよろしくお願いします

問題7. R2 の直線 Lの方程式表示は y=3 とする.この時Lを図示しなさい.またLのパラメータ表示を求めなさい。 問題 8. R2 内の二つの直線のパラメータ表示を考える。 2 +t (tは任意の実数) 三 -1 0 S 2 +6 2 は任意の実数) ニ -3 これらのパラメータ表示が表す二つの直線の交点を全て求めなさい。

以下の問題の解き方がわからないです。

(2) つぎの行列 13 0 A= 12 11 1 ー4 にたいして,R3から R3への線形写像Tがつぎの式 + 3y + 2y + 2 ーエ+ リ-4z T A 三 三 2 2 によって定められている。線形写像Tについて下問に答えよ。 1 1.d = の像T(a) を求めよ。 -1 1 2.5- にたいして,T() = 5をみたすようなベクトル正をすべて求めよ。 0 3 3. 平面 H:-2z- 7y+z=0のパラメータ表示を求めよ。 4.平面 HをTによってうつしたときに得られる図形は直線であることを示し,その方程式を求めよ。

T=tanθとするとcos2θ=(1-T²)/(1+T²), sin2θ=2T/(1+T²)で表せるので 点(x,y)=((1-T²)/(1+T²),2T/(1+T²))で単位円 中心1ずらして(2/(1+T²),2T/(1+T²)) 原点中心に大きさ半分にして(1/(1+... 続きを読む

解き方を教えてほしいです🙇‍♀️

課題1 陰関数定理(または逆関数定理)を用いて,次を示せ: F(r,y)をR? 上で定義された C! 級関数, cを定数とし,(zo, Yo) € R2 は F(o, Yo) =cをみ たすとする。このとき, F。(ro, Yo) +0または F,(ro, 0)£0 であれば次が成り立つ: (1) 集合{(z,9) e R?; F(z,y) =c}は,点(ro, 9o)の近傍では(パラメータ表示された)正 則な曲線と見なせる。 (2)(1) の曲線の点 (ro, Yo)における接線は F。(r0, 9o)( - 20)+ F, (zo, Yo) (y - Yo) = 0 により与えられる。

(2)教えてください。(1.1)、(1.2)どちらでも大丈夫なので教えていただけるの嬉しいです。幾何です。

3| 曲面のパラメータ表示 p:U→ R3 (p € C®(U))を与え,座標曲面 S= p(U) を考える。また,曲線c = c(s) : I→ U (ce C®(I)) を考え, 7(s):= (po c)(s) :I→Sを測地線とする.このとき次の問に答えよ。 (1) (s) の速度ベクトルの大きさ ||(s)|| は, dy (S)|| = const for Vt EI ds を満たすことを示せ、ここで, const とは定数(constant) の略記号のことで ある。 注:したがって,パラメータsは,?の孤長パラメータの定数倍となる。 (2) パラメータ変換s= £(t) (t € I)を行うと,曲線う(t):= 7(E(t)) は,あ る関数 p(t) e C(1) が存在して、 霊 - d的 ()= A))or t eī = p(t (1t) for tei dt2 を満たすことを示せ、ここで(…)"は,(…)のS接成分を表す。これを座 標曲面Sのパラメータ表示を用いた方程式で表すと, d'ck de dek -(t) = p(t). dt -(t)(k= 1,2) for tef dt dt? dt を満たすことと同値である。(式(1.1), (1.2) のどちらを示してもよい。)

有識者の方解説お願いしたいです。

曲面のパラメータ表示 p:U→ R° (p e C®(U)を与え,座標曲面 S= 9(U) を考える.また,曲線c= c(s) :I→ U (ce C®(I)) を考え, 7(5):= (poc)(s) : I→Sを測地線とする.このとき次の問に答えよ。 (1) (s) の速度ベクトルの大きさ |会(s)|| は, dy = Const for Vt E I ds を満たすことを示せ、ここで,const とは定数 (constant) の略記号のことで ある。 注:したがって,パラメータ sは, yの弧長パラメータの定数倍となる。 (2) パラメータ変換s= {(t) (t e Ii) を行うと,曲線(t) := (E(t)) は,あ る関数 p(t) e Co (ī) が存在して, ds (()) = p()() for tei T dy dt を満たすことを示せ、ここで(…)" は,(…)のS-接成分を表す。これを座 標曲面Sのパラメータ表示を用いた方程式で表すと, dck ( (%3D 1,2) for teI dPck dc dei -(t) =D p(t). dt? dt dt dt を満たすことと同値である.(式(1.1), (1.2) のどちらを示してもよい.) 注:測地線y=(s) は, 弧長パラメータの定数倍を用いて求められるが,上 記の(1)より,式(1.1) または式(1.2) を測地線の定義としてもよいことが分 かる。ただしこの場合,(t) のパラメータtは,もはや一般に弧長パラメー タの定数倍としては与えられない.また式 (1.1) は,「測地線とは,座標曲面 S上の加速度が速度に各点で比例している曲線」とも解釈出来ることを表し ている。