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132変数関数/対称式の場合
xとyはx'+xy+y=1 を満たす実数とする. また, w=xy-x-y とする.
(1) p=x+yとするとき, wをで表せ.
(2)実数とりが2+xy+y2=1 を満たして動くとき,wの値のとりうる範囲を求めよ.
I
(大阪教育大後)
の最
対称式は必ず基本対称式を用いて表せる. xとy
条件式と値域を調べる式がともに対称式の場合
の対称式の場合, x+y=u, ry=vとおけば, uと”の式に直せる.
まず,条件式と値域を調べる式を u, vの式に直す.u, vの式に直すことで,x,yを消去するわけで
ある.すると,消去される文字, yの条件をすべてu, に反映させなければならない. ここで,
「x, yが実数」という条件を反映させるのに, 「u, vが実数」 だけでよいのだろうか? もちろん
「x,y が実数」 ⇒ 「u, vは実数」は成り立つ。逆に, 「u, vが実数」 ⇒ 「x, y が実数」は成り立つ
のだろうか? ここが問題である.
例えば,u=2,v=2となり得るのだろうか? これを調べるには, x, y を求めてみればよい. 解と係
数の関係により, u=2, v=2を満たすx,yは, 2-2t+2=0の2解である.この方程式の判別式Dに
ついて, D/4=1-2<0 であるから, x, yは実数ではない. つまり 「u, vが実数」 であっても, 「x, y は
実数」とは限らないのである.
x,yはf2-ut+v=0の2解であるから, x, y が実数という条件を, 判別式≧0 により,
u²-4v≥0
A
であ
とに反映させる必要がある. この実数条件は, 忘れがちなので,とくに注意しよう.
角
(1)
y
と
解答
(1)x2+xy+y2=1により,
(x+y)²=xy=1
::p2-xy=1
:.xy=p2-1
まずxyをp(=x+y) で表す.
2
大
w=xy-(x+y) をpで表すと, wp-p-1
(2)まず,かの取り得る値の範囲を求める.
x+y=p,xy=p2-1により, x,y tの2次方程式
t2-pt+p2-1=0
の2解である. x, y が実数である条件は, 判別式D について, D≧0
←解と係数の関係. 本間の場合,前
文で述べたx, yの満たす方程式
t2-ut+v=0
で定
t=
2
2
よって,D=p2-4(p2-1)=4-3p20
≤p≤
√3 √3
……② は、2-pt+2-1=0である.
5
①により,w=p
WA
2
1
よって② において,wは= 1/2で最小,p=
2
2
√3
で最大となるから, wの値の取り得る範囲は
5
1 2√3
|2|53
2 √3
0
2|33|
12
01
≤w≤ +
4
3
3
13 演習題 (解答は p.60)
←最大値は ① に代入して計算.
MARK ST
(ア),yx+y=4および≧0,y≧0を満たすとき,x-y'+x'+y'+xyの最小値
は
(イ)とy
最大値は
となる.
(東京工科大・コンピュータ)
大値と最小値を求めよ.また,最大値と最小値を与えるx,yの値をそれぞれ求めよ.
(ア) xy=t とおく . t
を満たす実数とする.このとき, x2+y2+2(x+y) の最
ry+y2=9
の変域は,yを消去して
tをxの関数と見ればよ
(神戸学院大・リハビリ、薬)
い。
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