（1）を部分分数分解ではなく、x＝2sinθと置いたのですが、それだとダメなんでしょうか？

206 第6章 積分法 基礎問 113 区分求積法 定積分を用いて,次の極限値を求めよ. n2 122 n² + (1) lim n4n2 12 4n2-22 ++・・・+ 4n2 (2) lim +k (2) lim dx 1 = (2+2) 189 207 =1/-10g(2x)+10g(2+1)=1102/11083 1 nk=n+1k →頭に「一」 がつく理由は, 86 ポイント参照。 1 27 n -=lim n→∞nk=n+1k =lim 11 n―00 n k=n+1 k n --log-log2 精講 limΣの形をした極限値を求めるとき, Σ計算が実行できればよい のですが、そうでないときでもある特殊な形をしていれば極限値を k 公式によれば, n 積分の範囲が1→2となる理由を考えてみましょう。区分求積の 求めることができます. →とかわっています. だから, n→∞としたと k それが 「区分求積」といわれる考え方で,その特 殊な形とは YA きの n y=f(x), の範囲がxの範囲ということになります。 n+1sks2n n // ( n+1 nn において, lim 2n -=1, lim lim nk=1" (円) n→∞ n n→∞ n -=2 であることより, 1≦x≦2とな ります。 です. 右図で斜線部分の長方形の面積は1/12 (1) で表 12 nnk-1' 3x n k ポイント せます。 lim 1.2m)=f(x) dr n→∞nk=1 dx よって、21(h)は,図のすべての長方形の総和です。ここで,n(分割 x=1で囲まれた面積に近づくと考えられます。 以上のことから, lim 1 ½ ½ ƒ ( h² ) = f f ( x ) d x n→00 n k=1 ということがわかります. 数) を多くすると曲線より上側にはみでている部分はどんどん小さくなります。 そして最終的にはy=f(x), x軸, 2直線 x = 0, 参考 分割数を倍にすると幅が半 分になるので,この部分だ け小さくなる y=f(x) a b-a bx a+k. n x lim b-a n 12 00 n k=1 n f(a+k.ba) = f(x)dr 区分求積の公式の一般形は下のような形 ですが, 大学入試では上の形でできない ものは出題数が少なく、出題されてもか なりの上位校に限られていますので、ポイントの 形で使えるようになれば十分です. y=f(x) b-a n - a fla+k⋅ b - a). b-a 解 (1)(与式)=lim7_12 non k=1 4n-k² lim 12 1 n→∞nk=1 (k' 4- An 演習問題 113 Elim n+2k の値を求めよ. nwk=1n2+nk+k2 第6章

263の(1)がわかりません。 教えてください🙇‍♀️

263 定積分を用いて,次の極限値を求めよ。 k (1) lim Σ n→ ∞ k=1 k²+n² n (2) lim √n²-k² n→ ∞ k=1 n²

積分区間が0～2になるそうなのですがよく分かりません。長方形の左側を高さとして分割したグラフを書くと0~2の積分にはなりませんでした。 どこがまちがっているんですか？

01.2 2n n lim 2 n-∞k=04n² + k² を求めよ. 2

赤マル部分が1になる過程が分かりません。🙇🏻‍♀️

(2) (5)=lim- 448 k = Σ √1 + 1 = P√1 + xdx = [² (1 + x)³ ] = ² (2√2-1) =P√+3 n k=0 n 8

数3の区分求積法の問題です。n+1からというのはどういうことですか？

3n □ (2) lim Σ n→ ∞ k=n+1 k

(4)の区分求積法の問題です。自分の解き方ではダメなのでしょうか？

n² + n²/ (4) n 2 n lim4n²-k² n→ ∞ k=1 3n 教 (2)0

数3の区分求積法で(4)の問題のイメージができません。図で説明して欲しいです。

例題 145 定積分と和の極限(1) 11 222 + + 323 (n)} を求めよ。」 (カ) n² jen) (1) Lim 1(1)+(2 →∞ n nsent 3en+ n° 2 4 6 + + + ・十 (2) lim (her+Lei+ 2er+..+16) を求めよ (3) lim →∞ n2+1 n2+22 n2+32 2n 1 を求めよ. (4) limΣ n→∞k=1 On n+k n° 2n n² + n²) *** にする を求めよ. 否により OA(前)

どうやって項数がn＋1って分かりますか？

4 定積分と微分・区分求積法 373 **** 例題171 定積分と不等式の証明(2) 不 **** 1 f(x)=1+x 自然数n(n>3) について, 関数 f(x) が, 件から、 1 if(x)dx<2n+3 を満たしている. このとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。 1+xx+x+ (−1)"'"" n+1 (名古屋市立大改) 式は等号が含 ●ので,等号が ないことに注 とき, x(=1) 考え方 f(x)を と1+x2x'+x-... + (−1)"' ほ分けて考えると, 2n 後半は,等比数列の和になっていることがわかる. 1 解答 f(x)= 2 1+x" -{1-x'+x-x+......-(-1)*x2m} どうして現 が 1 1+x2 {1-x²+x-x+....+(-1)^x^*) 2n nt1項って分かる? より、xxx......+(-1)"x" は,初項 1.公比 ニャの等比数列の初項から第n+1項までの和であるから, その和は、 1-(-x")"+1_1-(-1)"+12+2 頭数がn+1項で あることに注意す る. 1-(-x2) 1+x2 したがって, :>1 の f(x)= 1 1+x2 1-(-1)*+'x2x+2(-1)"+1x2n+2 1+x2 1+x2 よって, 2n+2 を求める. S | f ( x ) d x = S 1 + x = d x 01+x20 2n+2 1 Sx² + dx = [ 2n +3 2n+3 2n+3 1 -X 2n+3 となり、不等式は成り立つ. Odx x=1 第5章 0<x< 1 のとき 1+x>1より、 x" 2n+2 1+x2 <x2n+2

解2でなぜこのような変形ができるのかがわかりません

12 +22 + ...... +n2 (1) lim n→∞ (n+1)²+(n+ 2)² + ......(2n)² (1) <解1 >公式 lim n18 = 12 +22 + +n2 (n+1)²+(n+2)²+...... (2n)² lim n→∞ 1 n(n+1)(2n+1) n _=lim Σ(n+k)² k=1 1 n(n+1)(2n+1) n n10 (n2+2nk+k²) k=1 n(n+1)2n+1) (n+: =lim n(n+1) 1 n2n+2n. 2 6 +n (n+1)(2n+1) 13 1+1+ 1 1 7 3 (どうせ残るのはnのところのみ) <解2>区分求積法 (分母,分子ともに収束するから使用できる。 それぞれで式をつくる) (与式) = lim →∞ n Σ. n k=1 1 2n N k=n k \2 n k2 n S² 0 xdx 1 S²x²d x 7

区分求積法についての問題です 1枚目はnのくくり出し方が分からなくて(赤線部の部分) 2枚目は②自体がよく分かりません 解説お願いします

282 0 n x/< 2 基本例題 164 定積分と和の極限 次の極限値を求めよ。 n/n+k n4 Ase 指針 hから (1) lim E n→∞k=1 ♡に h= 3 とばす 解答 みにする。 lim ① 与えられた和S, において, とき、②Tの第k項がf- S=Tの形に変形する。 n こ dx または lim 3-S 1が0になっただけー。 のように, 和の極限を定積分で表す。 その手順は次の通り。 YA を見つける｡ ③ 定積分の形で表す。 それには (2) S=lim いて、口をめっちゃ よって S=lim Sw (2) lim Σ n→∞k=1 n-∞0 k=1 n (またはSof() f(x), 1/27 n k=1 と対応させる。 n 求める極限値をSとする｡ (1) (n+k)³=(n+k) ³ - 1 (n+k)³ = 1 (1+2) ³ = n 1からn= 練習 次の極限値を求めよ。 ② 164 れに limimを (1) lim 2 Asin kr 2 n→∞k=n 100 n (n) の形になるような関数 f(x) をくくり出し, - ( 16 547) = √ ( 1 + x) ³ dx = [ 2 (1 + x)³] = ³² n (下にしていく。 1(k+n) (k+2n) 18 √ ( 12 ) = S(x) dx n 3 「だから 1 n-co₂_n k=1 ²² 20 ( 1 ² + 1) ( ^² + 2) ●)ここで、(x+1)(x+2) x+1 + n 1 a ると a=-1,b=1,c=1 14 / 0) 207 S=Sl= x + 1 + (x + 1)² + x + 2]dx 1 1 x+1 (x+1)x+2 面積 部 れを足していく n k 2 (n + k) ¹ = lim ¹ 2 (1+2) ³ n→∞nk=1 1 (1²--20g(x+1) +++ log(x+2) x+1 3 =1/12/+ +log- →dx n? 33/2 3 2 4 1 = = S₁ (x + 1) ² ( x + 2) dx b + (x+1)² x+2 0000 [(1) 琉球大, (2) 岐阜大】 EST p.hou 基本事項 重要 166\ とす y=f(x) M f(x) 0 12. k-1 kd-11* n n n n n <f(x)== n 参考 積分区間は, lim Z〇の形なら、すべて n→∞k=1 0≦x≦1で考えられる。 ◄f(x)=(1+x) ³ kn dx (x+1)(x+2) 右辺の分数式は,左のよ うにして、部分分数に分 解する。分母を払った 1=a(x+1)(x+2) ・+nen +6(x+2)+c(x+1)^ の両辺の係数が等しいと して得られる連立方程式 を解く。 もしくは、 x=-1,-2,0など適当 な値を代入してもよい｡ 1 (2) lim/m/s (eir+2ch+3ei++nek) nn [(2) 岩手大] p.289 EX139