例題270 n進法の表し方(3)
八進法で書いた3桁の自然数を七進法に直したら、 各位の数字の順序が
すべて逆順になった。 この自然数を八進法,十進法で表せ.
MOLO
SCH
考え方
八進法で書いた3桁の自然数をabc(s) とすると,題意より,七進法に直した3桁の数
はcba (7) となる。 abc () を十進法に直すと, a×82+b×8+c である。
解答 a,b,c を, 1≦a≦6,0≦b≦6,1≦c≦6 を満たす整数
とする.
αとcは0になるこ
とはない.
abc (8)=cba (7) であるから,
<0+8x1=1+S+'S
a×82+6×8+c=c×7+6×7+α
したがって, b=3(16c-21a)より,b は 0≦b≦6 を
満たす3の倍数である。
(i) b=0のとき, 16c-21a=0 より, 16c=21a
よって, 16 21は互いに素であるから, αは 16
OSの倍数,c は 21 の倍数となる.
しかし, 1≦a≦6,1≦c≦6 の整数で, この式を満
a,cは存在しない.
(
(ii) 6=3のとき, 16c-21α=1 より 16c-1=21a
で,左辺は奇数であるから、1≦a≦6 を満たす整数
a は α = 1, 3,5 のいずれかである.
この中で適するのは. a = 3
このとき c=4
STEX
よって,
八進法では,
334(8)
十進法では, 3×82 +3×8+4=220
(ii) b=6のとき, 16c-21a=2より,
2(8c-1)=21a
αは2の倍数で,1≦a≦6 より 整数αは
-EXS+E
a=2,4, 6 のいずれかである.
X(1-8) +
しかし、この中で適するαは存在しない.
EXI-EXE
-EXE+8-8-
よって, (i), (i), ()より,
八進法では 334 (8), 十進法では220
