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重要 例題 40 係数に虚数を含む2次方程式の解
x の方程式 (i+1)x2+(k+i)x+ki+1= 0 が実数解をもつとき, 実数kの値を求
めよ。 ただし, i = -1 とする。
指針▷実数解をもつことから,判別式 D≧0を利用したいところだが,判別式が使えるのは,
係数が実数のときに限る。そこで,実数解をαとして (i+1)+(k+i)a+ki+1=0
えについて整理して (a2+ka+1)+(a²+a+k)i=0
ここで,複素数の相等条件 A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0,B=0
を利用する｡
解答
方程式の実数解を x = α とすると
(i+1)a²+(k+i)a+ki+1=0
えについて整理すると
a2+ka+1,a2+α+ k は実数であるから
Q2+ka+1=0
(a²+ka+1)+(a²+a+k)i=0
......
1, a²+a+k=0
よって
このとき, ③から
①②から (k-1)a+1-k=0
よって (k-1)(α-1)=0
[1] k=1のとき, ①,②はともに α²+α+1=0
判別式をDとすると D=12-4・1・1=-3
D<0であるから α は虚数解となり、 条件に適さない。
[2] α=1のとき, ② から k=-2
したがって k=-2
別解 [①,②を導くところまでは同じ]
②から
k=-a²-a. 3
ゆえに k=1 または α=1
②
a³-1=0
① に代入して整理すると
ゆえに
(a-1)(a²+a+1)=0
は実数であるから+α+1=(a+1/2)+1/4/30
α
α-1=0 すなわち α=1
k=-2
これは①も満たす。
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〔類 専修大]
基本 35
A, B が実数のとき
A+Bi=0
⇒ A=0, B=0 300
実数αに対して
+-₁)= (a + 1/ )² + ²³²/2 > 0
であることから,示しても
よい｡
これは, 高次方程式 (αの3
次方程式)。
高次方程式の解法は, p.95
以後を参照。
