第4草
例題 93
極値をもつ条件 (1)
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x+a
@関数f(x)=
が極値をもつように,定数aの値の範囲を定めよ。
x²-4
Think
例是
a
を調べる.
解答
考え方 微分可能な関数 f(x) が極値をもつかどうかは,
・f'(x) = 0 となるxの値があるか
・f'(x) = 0 となる x の値の前後でf'(x) の符号が変わるか
f'(x)=1(x-4)-(x+a).2x
(x²-4)2
「考え方
x2+2ax+4
商の微分
(x²-4)2
S
解答
www
f'(x) = 0 とすると,
極値をもつための条件は、f(x)の(分母)=x-4≠0より
①が x=±2 である解をもち、f'(x) の (分母)=(x4)20
であるから,その解の前後で ①の左辺の符号が変化すること
である.
x2+2ax+4=0
・①
分母
より, (分子)
を考える.
2次方程式 ① が異
る2つの実数解を
x=2が①の解のとき,
つ.
4+4+40 より
a=-2 小野大野(笑月期)
このとき,①はx4x+4=0 となり, x=2」 を重解にも
つのでf(x)は極値をもたない.
(x-2)=0
x=±2 である解を
x=-2が①の解のとき,
4-4a+4=0 より a=2
大もたない.
このとき,①はx+4x+4=0 となり、x=-2 を重解に
もつのでf(x)は極値をもたない
(x+2)=0
したがって, f(x) が極値をもつための条件は、 ①が異な
る2つの実数解をもつことであるから,①の判別式をDと
すると,
D=a²-4>0
(a+2) (a-2)>0
このときの解は
2
x=±2 である解を
もたない。
よって、求める αの値の範囲は,
a<-2,2<a
x=-a±√a-4
Focus
で極値をとる.
微分可能な関数 f(x) が極値をもつ
⇔f'(a)=0 を満たす x=aの前後で
(a) の符号が変化する
F
