第2章 高次方程式
の
(1) nを3以上の自然数とする。x-1を(x-1)"で割ったときの余ん
を求めよ。
(2) x+x5+1をょ+1 で割ったときの余りを求めよ。
題 56
剰余の定理3
利用できる。(二項定理については, p.21 参照)
2) ーiで+1=0 となる。実数係数の整式の割り算での余りは実数係数であっ
S(x)月
2次以下の式であるから,余りはax+ bx+cとおける。
よって、 x-1=(x-1)°Q(x)+ax。+ bx+c …D
x-1=t とおくと,x=t+1 より, ①は、x)0(S
(t+1)*-1=F-Q(t+1)+a(t+1)?+6(t+1)+c……2
2の左辺に二項定理を利用すると,
(左辺)=.C+.C--1 +.Ca+.Caf+.Cit+.Co-1 .C-(n-1)
解答 (1) 3次式(x-1)°で割ったときの商をQ(x) とすると,余りは
2
n(n-1)
=.Cf"+.C-+ +.Caf°+
P+nt
2
C=n
Co=1
また、2の(右辺)=P-Q(t+1)+at°+(2a+b)t+a+b+c…④
で、整式-Q(t+1)は各項とも3次以上である。
スロ (+x5+)
立社
3, 9の2次以下の項の係数を比較して,
_n(n-1)
-=DD
2
2a+b=n, a+6+c=0
n-3n
これらから,a= ) 6=D- (n°-2n), c=-
2
2
n(n-1)
2
(2) 2次式+1で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+bとおく。
x+x5+1=(x?+1)Q(x)+ax+b (a, bは実数)が成り立つ。の式
これはxの恒等式であるから, 両辺にx=i を代入すると,i=-1
よって,求める余りは、 -(rー2n)x+ガ-3n
2
余りは1次以下
F=-1, P=()"=1, i"=(?)?*;=-iより, ①は,
2-i=b+ai となる。
a, bは実数であるから,
よって, 求める余りは,
a=-1, b=2
複素数の相等よ
ーx+2
)微分法(第6章)を学習すると, xの恒等式 x"-1=(x-1)°Q(x)+ax°+bx+C
り
辺を微分した式も恒等式であることから, a, b, cの値を容易に求められる.
