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9円/2円の交点を通る直線・円———
座標平面上の2つの円:y2-2y-3=0 と C2y6y+5=0 は異なる2点で安
わる C と C2 の2つの交点を通る直線の方程式は,y=
の2つの交点および点 (1,4) を通る円の中心の座標は
x+
である.また,と
半径は [
(流通科学大/一部省略)
2曲線の交点を通る曲線 O3の「定点通過」で現れた考え方は,与えられた2曲線の交点を通る曲
線を作ることに応用できる. 2曲線f(x,y)=0,g(x,y)=0が共有点をもつとき
k.f(x, y) +1·g(x,y)=0 (k, lは実数で, (k,1) (0,0))
は2曲線のすべての共有点を通る曲線を表す.
なぜなら, 任意の共有点を (α,β) とすると,f(α,β) = 0 かつg (α,B)=0を満たすので
k.f(α,B)+1g (α, β)=0が成り立つからである。
例えば,f(x,y)=2x+y+1,g(x,y)=x-2y-1とすれば,f(x,y)=0, g(x, y) =0はともに
直線を表し, Aはこの2直線の交点を通る直線を表す.
2円の場合 円 C:x2+y2+ax+by+c=0 ① 円 D: x2+y2+dx+ey+f=0
が2点P,Qで交わるとき, k (x2+y+ax + by + c) +1(x2+y2+dx+ey+f) = 0
は, P, Qを通る円または直線を表す. (③の左辺が2次式なら円, そうでないなら直線)
特に k = 1, '=-1のときは,P, Q を通る直線を表すが、 要するに,
2円の交点を通る直線は, ①② から得られる.
解答
前半と2の2つの交点を A,Bとすると,A,Bの座標は,+
x²-2x+y2-2y-3=0と+y2-6y+5=0 を同時に満たすから,
k(x²-2x+y2-2y-3)+1(x²+ y²-6y+5)=0
も満たす.よって,①は,2円の2交点 A, B を通る図形を表す.
[2次の項が消えるように,] k=1, l = -1 とすると,① は,
-2x+4y-8=0
1
y= -x+2
これは直線を表すから, 求める直線AB の方程式に他ならない。
(後半) ①が点 (1,4) を通るとき, x= 1, y=4 を代入して
4k-21=0
これを①に代入して,んで割って,
1=2k
2-2x+y2-2y-3+2 (2+y2-6y+5)=0
3x²+3y2-2x-14y+7=0
2
14
7
1
2.
x+
-=0
-y+
..
I
3
3
29
1 7
29
中心の座標は
半径は
である.
3 3
3
--
= (1+8)+(1+S)
0,0
答
③
←2円の式の差を作ると,A,Bを
通る直線の式が得られる.
後半の別解:
2426y+5=0と直線AB
2y+4=0に対してAを用い
ると,
x+y2-6y+5
--+k(x-2y+4)=0
は,A,Bを通る図形式の形か
ら円)を表す. x=1, y=4を代
入して, k=-2/3(以下略)
