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戦略 例題
座標平面の設定
★★☆☆
AB=ACである二等辺三角形ABC を考える。辺 AB の中点を M とし,
辺 AB を延長した直線上に点Nを, AN:NB=2:1 となるようにとる。
このとき,∠BCM = ∠BCN となることを示せ。ただし,点Nは辺 AB
上にはないものとする。
AR
(京都大)
« Re Action 図形の証明問題は,文字が少なくなるように座標軸を決定せよ IB 例題 95
思考プロセス
・△ABC は AB AC の二等辺三角形
YA
|対称性の利用
O ADJ
A
対称軸をy軸に設定
∠BCM と ∠BCN を考える
BCをx軸上に設定して、
とすると、
M
B
C
0
x
関問
戦略
設定
2 直線 NC と MC の傾きを考える
AN
95
解 直線 BC をx軸, 辺BCの中点を
原点にとる。 △ABC は AB AC
であるから, A(0, 2a),B(-26,0),
C(260) (a>0, 6 > 0) としても
一般性を失わない。
YA
34A 2a (8)
M
A(0, 4), B(-6, 0) のよう
At
に設定してもよいが,後で
-2b
BO
(2) ①
Mは線分ABの中点であり, N は
線分ABを2:1 に外分する点であ
NO
DA
るから
M(-b, a), N(-4b, -2a)
26
CABの中点Mを考えると
M(-)
分数になってしまうか
ら,Mの座標が分数とな
らないようにした。
このとき,NC の傾きは m1 = 26-(-4) 36
0+(-2a)
a
A
=
0-a
a
MCの傾き m2 は m2= 26-(-b)
3b
よって, 2直線 NC と MCはx軸に関して対称であるから
<BCM = ∠BCN
頭を
(別解〕(座標を用いない証明)
BM=α とおくと AB = 24, AN = 4a, AC=2a
<BAC=0 とおくと, △AMCにおいて, 余弦定理により
CM² = a² + (2a)2-2. a. 2acos
= 5a² - 4a² cos
BA
逆向きに考える
∠BCM = ∠BCN を示す。
CM:CN = MB:BN
が示されればよい。
MB:BN=1:2より,
CM:CN = 1:2 を示
したい。
また,△ANC において,余弦定理により11/07
CN2 = (4a)²+(2a)2-2.4a 2acos
08
A
=20α²-16acost
M
FO
大
よって、CM:CN=1:4 より
<BCM = ∠BCN
CM:CN=1:28-
したがって、角の二等分線と比の定理の逆により
B
C
②
①
練習
△OCD の外側にOCを1辺とする正方形 OABC と, ODを1辺とする正方形
このとき、 AD ⊥ CF であることを証明せよ。
(茨城大) 303
p.315 問題1
