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重要例題 58 剰余の定理の利用 (3)
(1) f(x)=x-ax + b が (x-1)2で割り切れるとき、 定数 α, bの値を求
めよ。
[学習院大
を果者2以上の数とするとき、ポート (x-1)で割ったときの余り
CHARTI
なんで
この想に?!
OLUTION
割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用
1 次数に注目
(1)(x-1)2で割り切れる⇒f(x)=(x-1)'Q
⇒ f(x)がx-1で割り切れ, 更にその商がx-1で割り切れる。
(2) 次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし, α°=1, 6°= 1 である。
X = ² + R²= 1² - Ch-placa²
22
la-b²=(a-b)(a-1+α"-26+α”-362+.... +αb"-2 +6n-1)
②余りには剰余の定理」
m² 3 X al p co b ² + ab + PZ
解答
(1) f(x) は x-1 で割り切れるから
よって
1-α+6=0
ゆえに
したがって f(x)=x-ax+α-1
両辺に x=1 を代入すると
0=a+b
g(1)=0
ゆえに a=3
よって
f(1) = 0
=(x-1)(x²+x+1-a) - Jef
g(x)=x2+x+1 -α とすると
3-a=0
よって
これを①に代入して b=2+
(2) x-1を2次式(x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余り
をax+b とすると、次の等式が成り立つ。
x-1=(x-1)'Q(x)+ax+b1
b=a-1
ゆえに x-1=(x-1)2Q(x)+ab
b=-a
afx-15
-a
1
①1
(x) 11 -q+1
=(x-1){(x-1)Q(x)+α}
辺にx=1 を代入すると
a=n
よって
ゆえに
したがって 求める余りは nx-n
......
x-1=(x-1)(x-1+xn-2+......+x+1) であるから
⑥x-1+x^2+..+x+1=(x-1)Q(x)+α_
a
1+1+...... +1+1=a
b=-a=-n
10
a-1 1
-a+1
0
38-(5)9
条件から,g(x)もx-1
で割り切れる。
割り算の基本公式
A=BQ+R
(x-1)²Q(x)+a(x−1)
1482484,39 10
2. dx) x-
← 1=x であるから、左辺
の項数はxからx-1ま
での n個
(0.0多購式((tx)
逆賊 P(x)
x+3 C
0P(2
/ 0921-7
h=α= f
PRACTICE・・・･ 58 ④
(1)a,bは定数で,xについての整式x+ax+6は(x+1)^ で割り切れるとする。
このとき, a, bの値を求めよ。
(2) 2以上の自然数とする。x+ax+6が(x-1)2で割り切れるとき
(早稲田大)
bの値を求めよ。
3 P
