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例題 112 接線に関する軌跡
Ct★★★★☆
メ放物線 ソ=x? 上の異なる2点P(p, が), Q(q, q°) における接線をそれぞれl,
6とし、その交点をRとする。liと leが直交するように2点P, Qが動くとき,
点Rの軌跡を求めよ。
(類名城大)
一例題108
E 6. bの方程式から交点Rの座標 (x, y) を求めると, x とyはともにか, qの式で表される。
したがって,方針は
つなぎの文字p, qを消去する
3章
そこで用いるのは
2直線が垂直 -→(傾きの積)=-1
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答案 x軸に垂直な接線は考えられないから,l,の傾きを m
とすると,その方程式は
P.
yーが=m(x-p)すなわち y=m(x-p)+が
x=m(x-p)+が
P(b, が)| Qq, g'),
これと y=x° を連立して
整理すると
0
l2
x°-mx+mp-が=0
か
x
この2次方程式が重解をもつから,判別式をDとすると
D=(-m)?-4(mp-が)=m?-4mp+4が=(m-2か)°
R
(m-2p)?=0
したがって,6の方程式は
eiliをる
D=0 から
よって
m=2p
ソ=2p(x-p)+がすなわち y=2px-が
同様にして,2の方程式は
ソ=2qx-q°
交点Rの座標(x, y) は, 連立方程式 0, ② の解である。
2(カ-q)x=(か+qg)(カ-g)
40でかをqに
おき換える。
2
yを消去して整理すると
その
交が考左の答案は
今までに学習した
知識のみを用いて
接線の方程式を求
めているが,後で
学習する微分法を
用いると,より簡
単に求めることが
できる(第6章微
3 の解である。分法を参照)。
pキqであるから
X=
2
-D+q
(X,5)
これをOに代入して
ソ=2か -がーq
2
lille から
2p-2q=-1
よって
ソ= pq=-
4
1
-=0
また,p, qは2次方程式 t-2xt -
3の判別式をD' とすると
D'
1
よって
D'>0
x+
4
逆の確認。
ゆえに,任意のxに対して実数p, q(カキq)が存在する。
したがって,求める軌跡は
直線 y=ー
1
4
軌跡と方程式
