数Ⅲ 無限級数 下の写真についてです。 垢マーカーで印をつけた部分ですが、なぜこのような式になるのでしょうか？ S2nー1（2nー1は小文字）のところ（一番最初）から分かりません。 説明を付け足してわかりやすくしていただきたいです。 よろしくお願いします

基本 例題 125 無限級数 1- 1/2+1/12/8/1/3+1/3/1/+1/1/1 ① について (1) 級数 ① の初項から第n項までの部分和をSとするとき, Szn-1, S2をそれ ぞれ求めよ。 (2) 級数 ① の収束 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 2通りの部分和 S2n-1, San の利用 解普 (1) Sun-1=1-1/2 4 4 指針 (1) S2n-1 が求めやすい｡ S2 はS2=S2-1+(第2n項) として求める (2) 前ページの基本例題124と異なり, ここでは( )がついていないことに注意。 このようなタイプのものでは、S を1通りに表すことが困難で, (1) のように S2n-1, S2 の場合に分けて調べる。 そして,次のことを利用する。 Sn=Szn1 [1] limS27-1 = lim S2 = S ならば limS=S 2400 [2] lim S21-1≠lim S2 ならば 1/12/+2/-/1/3+1/31/+1/1/1 n n =1-(1/2/-/1/1)-(1/3-1/31) (一号)= :1 n+1 ・+ S2=S24-1-1=1-1 n+1 lim S21-1=1, limS2=lim( 4 4 ･･・･・･・･･･・･・･ (2) (1) から よって limS=1 したがって, 無限級数 ① は収束して, その和は1 n+1 11:00 {S} は発散 + 基本124 = 部分和 (有限個の和)なら ( )でくくってよい。 [参考] 無限級数が収束すれば, その級数を、順序を変えずに 任意に( )でくくった無限級 数は,もとの級数と同じ和に 収束することが知られている。 検討 無限級数の扱いに関する注意点 上の例題の無限級数の第n項を [1/1 と考えてはいけない。 ( )が付いている場合は,n 1 n+1 番目の( )を第n項としてよいが,( )が付いていない場合は, n番目の数が第n項となる。 注意 無限級数では, 勝手に( )でくくったり、 項の順序を変えてはならない! [例えば, S=1-1+1−1+1−1+....=(1-1)+(1-1)+(1-1)+•••••• したら大間違い! (Sは公比1の無限等比級数のため、 発散する。) ただし, 有限個の和については,このような制限はない。 とみて, S=0 な 0などと] 211 4章 15 無限級数

(4)の考え方がよく分からないです💦 教えてください🙇‍♀️

例題112 無限級数の収束・発散(2) 次の無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ.た I+)(1+1+y) だし, (2)は無限等比級数である. n 2 3 4 (1) 1+ + + + 13 5 7 (2)(√3-1)+(4-2√3)+(6√3-10) +...... 3 4 4 (4)) 2-2 + 2-3 + 3) ... m→∞ An (5n+1n+2 n 3 2 + 解答 (1) 1+- 3 n+1 Olb +(3+) + *=21+1. 考え方 (1) 一般項をam とするとき, liman=0 ならば, 無限級数 am Σan 4 + + 5 7 + ならば lim Sn は発散する. n→∞ は発散する。 n=1 (2) 公比rの無限等比級数が収束する条件は, (初項)=0 または-1<r<1である。 n→∞ 8 8 (3) 無限級数 Σan, Σón が収束するとき, Σ(kan+b)=a+lon n=1 n=1 1-I+ay= ・+･･・ 8 +1 000 3 2 (3) 2 2n 3n n=1 n=1 Ita である(ただし, k, l は定数). (4) lim S2m-1≠lim S2m (n=2m-1のときと n=2mのときで極限値が異なる) STR m→∞ 東 8 8 n=1 8 || n=1

(2)と(4)の部分分数分解(?)のやり方がわからないです。マーカー部分の解説お願いします。

{an} が成 A 問題 191 次の無限級数の収束 発散を調べ, 収束するときはその和を求めよ。 *(1) 204 *(2) *(3) 1 2･5 (4) 1 1.4 1 + + 5.8 1 1 + + + 2.5 3.6 1 1+√5 + √2-1 √1.2 1 8・11 + +………:+･ 1 √5 +√9 + + + 1 (3n-1)(3n+2) 1 n(n+3) 1 √9+√13 +.... + + √3-√2 √√4-√3 √2.3 √n+1-√√n √n(n+1) √3.4 192 次のような無限等比級数の収束 発散を調べ、 収束するときはその和を求め + +......+ 891 教p.105 例題 3,4 1 '4n-3+√4n+1 ·+…..... +…...

解説の青線部分で何故不等号が逆になっているのですか？ 教えて頂けると嬉しいです

*213 初項1,公比 1/12 の無限等比級数の和Sと,初項から第n項までの部分和 S” と 1 1000 の差が、 初めて より小さくなるようなnの値を求めよ。

数学の問題です。写真の①〜⑦の解答を教えて頂きたいです。お願いします🙇‍♀️😭

ある1年間の商品 cm広告で1000万円の売り上げを見込んだ. キャリーオーバー係数を0.5とする とき, 売り上げが初めて1950万円を超えるのは何年後か. 始めの1年目の売り上げは 2年目の売り上げは 2 (1) 万円である. 一般に7年目の売り上げは は部分和を計算すると 6 万円である. 3年間の売り上げは (3) 万円である. (4 (5) T-1 万円となるので, T年間の売り上げ (1 - 0.57) 万円である. 7 これが1950万円以上になるような最も小さいTは である.

1行目から2行目にいける理由がわかりません！

51 第n 部分和を Sn とする. (1) Sn = 58 n log2 k k + 1 = n Σ{log₂ k − log₂ (k + 1)} k=1 k=1 = -log₂ (n + 1) (与式) = lim Sn=-∞ 発散 818 log₂ 1 = 0

（2）の問題1/2はどこから出てきましたか？ 教えてください

12 次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。 1 (1) 1-3 +3 +5 ++ (2n-1)(2n+1)+ 1 (2) √3+1+√5 +√3 第n項までの部分和をS" とする｡ (1) S. (15)+(21-24+1)-(226) (² 4) よって lim 2 ・+・・・・・・+ √2n+1+√2n-1 したがって、この無限級数は収束しての船は 1/2である。 (2) 15,4167/31)+(1/5-13)+(√2+1/211-1/(√2x+1-1) よう lim Sh=∞したがって、この無限級数は発散する。 218 T

①についてです。なぜ絶対値が付いているのでしょうか？ また、絶対値がつくとどのような意味になるのでしょうか。 ②も同様絶対値がついている理由が知りたいです。 ③ですがなぜ、自然数なのでしょうか。負も含めると考えてしまいました。 ④の変形がわかりません。 ⑤について、なぜ、＝... 続きを読む

1 1 16 無限等比級数 1+ = =+ = =+ = ²/3 ･+･･････ について, 次のものを求めよ。 十 5 52 53 (2) 和 S より小さくなるnの値 (1) 第n項までの部分和 S n (3) S と S との差が初めて 1 10000 17 平面上で,点Pが原点Oを出発してx軸の正の向き に1だけ進み、次にy軸の正の向きに 1/23だけ進み, 次にx軸の負の向きに 1/22 だけ進み,次にy軸の負の 2² 1/2 22、 6

①についてです。なぜ絶対値が付いているのでしょうか？ また、絶対値がつくとどのような意味になるのでしょうか。 ②も同様絶対値がついている理由が知りたいです。 ③ですがなぜ、自然数なのでしょうか。負も含めると考えてしまいました。 ④の変形がわかりません。 ⑤について、なぜ、＝... 続きを読む

1 1 16 無限等比級数 1+ = =+ = =+ = ²/3 ･+･･････ について, 次のものを求めよ。 十 5 52 53 (2) 和 S より小さくなるnの値 (1) 第n項までの部分和 S n (3) S と S との差が初めて 1 10000 17 平面上で,点Pが原点Oを出発してx軸の正の向き に1だけ進み、次にy軸の正の向きに 1/23だけ進み, 次にx軸の負の向きに 1/22 だけ進み,次にy軸の負の 2² 1/2 22、 6

(1)の解説の5行目以降が全然分からないので教えてほしいです！

214 00000 重要 例題 128 複素数の累乗に関する無限級数 zを複素数とする。 自然数nに対し, 2” の実部と虚部をそれぞれxn とynとして、 2つの数列{x}, {y} を考える。 つまり, z" = xn+iyn (i は虚数単位) を満たして いる。 (1) 複素数zが,正の実数と実数0を用いて z=r(cos0+isine) の形で与え られたとき,数列{x},{y} がともに0に収束するための必要十分条件を求め よ。 1+3iのとき, 無限級数xとyはともに収束し,それぞれの和 10 n=1 (2) z=- はΣxn= n=1 指針 (1) まず, z=r(cos0+isine) の両辺をn乗した式に注目して, xn, yn をそれぞれn, r 0 で表す。 そして, xn2+ym² を計算するとの形になるから,数列{x},{yn} がともに 必要条件 0 に収束するとき, 数列{x^²+y^²} が0に収束するための条件を求める。 無限級数 部分和の収束・発散を調べる (2) 2 k まず,初項z,公比zの等比数列{z}の部分和 ②2 を求める。そして、 k=1 y=1である。 n=1 ②2=2xn+iye が成り立つことから,部分和之x, y が求められる。 J=1\ k=1 k=1 部分和の極限を調べる際は, (1) の結果も利用する。 解答 (1) z=r(coso+isin0) [r>0] のとき z"=r" (cosno+isinn0)=r” cos n0+ir "sinno よって ゆえに limxn=limyn=0のとき 12400 7248 Yk xn=r"cosno, yn=r"sinno x² + y²=(r) ² (cos² no+sin² n0) = (²)″ 330 lim(x₂²+y₂²)=0.00 (2) 2=1+√ i 10 k=1 のとき よって 0≤r² <1 > 0 であるから 0<r<1 (*) 逆に, 0<r<1のとき, -1≦cosn0 ≦1であるから -r≤r" cos no ≤r" 0<r<1であるから limr"=0, lim(-r") = 0 よって limr"cosno=0 780 -1≦sinn0≦1から,同様にして limr"sinn0=0 ◄-r≤r sin ne≤r" ゆえに、0<r<1のとき, 数列{x},{y} はともに0に収束する。 limx=0,limy=0 以上から 求める必要十分条件は 0<r<1 700 基本 118,119 00 _2(1-22-12 (1-(xn+iya)} z(1-z") ド・モアブルの定理。 ◄z"=xn+iyn +=c +5 無限等比数列が 0 に収 束する条件は -1< (公比) <1 (*) ここから, 十分条 件であることの確認。 はさみうちの原理。 初項z,公比zの等比 数列の初項から第n項 POAT までの和。