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②
24+1-√34
4+4+1=0
(n-1)(w+w+1) = 0
151110
x2x+1-03 高次方程式
10
例題 55 1の3乗根
****
-1+√3i
@=
2
とするとき 次の式の値を求めよ. ただし, n は整数と
する.
(1)
W2005
(2)
1+ +
1
@ w"
1
(3)(1+ω-ω^) ( 1-w+ω^)
(4) ω'+ (ω+1)2"-1 (岡山県立大改)
考え方
ω は x + x +1=0の解であり,1=(x-1)(x²+x+1)=0 より は =1の
解でもある.つまり,1の3乗根は1ww なので は1の3乗根の虚数のうち
の1つである. (ωキ1 であることに注意する.)
75
__1+√3i
解答
W=
より、
20+1=√3i
2
両辺を2乗して
(2ω+1)=3i,
4ω'+4ω+1=-3
これから使う性質
ついてまず証明し
おく.
したがって, w2+w+1=0
(1) W2005W2004xw=(ω3)668Xw
また, ω-1=(ω-1) (ω'+w+1)=0 より
=1
-1+√3i
=1668xw=w=-
2
2004=3×668
ω=1 が利用でき
るように変形する
1 1 w²+w+1 0
(2)1+ +
=0
@
W²
W
(3) ω²+w+1 = 0 より,
1+w=-w
m
よって, (1+wlω^)(1-e+w)
通分する.
1+ω°=
W
与式に代入でき
www
うな2種類の変
行う.
M
=(-ω-)(-ω-)
=-2ω²×(-2ω)=4ω=4
(4) ω'+w+1=0 より,
w+1=-w
したがって,
(ω+1)2" '=(-ω^)2=(-1)2" 'ω
=(-1)xω-2=3(x-1)Xw" +
-1
2(2n-1)
まずは (+1) 2
を考える.
n+1
2n-1は奇数
=-(13)"-1.1"+1=-W"+1
(−1)'"'=-1
よって, W"+1+(+1)2"-1=W"+"+1=0
'=1 を使える
|-2を分け
Focus
の2大公式
=1, ω°+w+1=0
練習
55
(1)x1=0 の虚数解の1つを とするとき、次の式の値を求めよ.
(ア)+ω'+1
(イ) 1+w +ω°+w'+ω'+ω°++w"
***
-1-√3i
(2) w=-
とするとき、次の式の値を求めよ. ただし, n は整数
2
(7) (w²-w+1)³
(1) (1-w)(1-w²)(1-w') (1-w³)
2+(1)
3n
