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基本例題 202 変化率
00000
(1)地上から真上に初速度 49m/s で投げ上げられた物体のt秒後の高さんは
h=49t-4.9f(m) で与えられる。この運動について次のものを求め、
し, vm/sは秒速vm を意味する。
(ア) 1秒後から2秒後までの平均の速さ
(2)
(0)-3
めよ。
(イ)2秒後の瞬間の速さ
とき,球の体積の5秒後における変化率を求めよ。
ふたた
P.314 基本事項
指針 (1)高さんは時刻tの関数と考えることができる。 h=f(t)=49t-4.9t2 とする。
(ア) 平均の速さとは,平均変化率と同じこと。(んの変化量)÷(tの変化量)を断
算。
(イ) 2秒後の瞬間の速さを求めるには, 2秒後から2+6秒後までの平均の速さ
均変化率) を求め, 60のときの極限値を求めればよい。 つまり、微分係
f' (2) が t=2における瞬間の速さである。
(2) まず, 体積Vを時刻tの関数で表す。 これをV=f(t) とすると, 5秒後の変化率
は t=5 における微分係数 f' (5) である。
重要 例足
xの多項
る。
(1) f(x)
(2) f(x
指針
(
(
解答(1
(1) (ア)
(49.2-4.9・22)(49・1-4.9・12)
2-1
=34.3(m/s)
tがαから6まで変化す
解答
(イ) t秒後の瞬間の速さは,んの時刻 t に対する変化率
るときの関数f(t)の平
均変化率は
f(b)-f(a)
7D
dh
b-a
である。 んをt で微分すると
=49-9.8t
dh
dt
については、下の
(1)=4
dt
求める瞬間の速さは, t=2として
49-9.8・2=29.4(m/s)=p
注意 参照。 '=49-9.8t
と書いてもよいが、
(2) t秒後の球の半径は (10+t) cm である。
dt
t秒後の球の体積を V cm とするとV=1(10+t
V を tで微分して
求める変化率は,t=5として
4л(10+5)=900π (cm³/s)
と書くと関数を
微分していることが式か
ら伝わる。
=n(ax+b)"'(ax+b)
変数がx,y以外の文字で表されている場合にも, 導関数は今までと同様に取り扱う。例え
(1+(1)
4
d=1/2x3(10+t) 2.1=4z (10+t) { (ax+b)"}
ば、関数=f(t) の導関数はf(t), dh
dt' dt
df(1) などで表す。また,この導関数を求め
ることを、変数を明示してん を tで微分するということがある。
練習 (1) 地上から真上に初速度 29.4m/s で投げ上げられた物体のt秒後の高さんは、
で与えられる。この運動に
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