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基本例題 116 割り算の余りの性質
a,bは整数とする。 α を7で割ると3余り, 6を7で割ると4余る。このとき、
次の数を7で割った余りを求めよ。
(1) a+2b
(2) ab
(3) aª
p.485 基本事項 ① ③3
指針 前ページの基本事項③の割り算の余りの性質を利用してもよいが, (1)~(3) は、
161704
a=7g+3,6=7g' +4 と表して考える基本的な方針で解いてみる。
(3)(7g+3)* を展開して,7×の形を導いてもよいが計算が面倒。 d'=(a)2 に着目
し,まず, a²を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。
【CHART 割り算の問題
(4) 割り算の余りの性質 4α” をmで割った余りは, r” をmで割った余りに等しい
を利用すると,求める余りは 「32019 を7で割った余り」であるが,32019 の計算は不可能。
このような場合、まずα” を m²で割った余りが1となるnを見つけることから始める
のがよい。
A=BQ+R が基本
(割られる数) = (割る数)×(商)+(余り)
解答
a=7g+3, b=7g' +4 (g, g′ は整数)と表される。
(1) a+26=7g+3+2(7g'+4)=7(g+2g') +3+8
=7(g+2g′+1)+4
したがって, 求める余りは 4
(2) ab=(7g+3)(7q'+4)=49gg'+7(4g+3g′)+12
=7(7gg'+4g+3g' + 1 ) +5
したがって 求める余りは 5
(3) a²=(7q+3)^=49g²+42g+9=7 (7g²+6g+1)+2
よって, d²=7m+2mは整数)と表されるから
α^=(a²)²=(7m+2)=49m²+28m+4=7(7m²+4m)+4
したがって 求める余りは
4
(4)
を7で割った余りは, 3°を7で割った余り6に等しい。
よって, (a)2=a を7で割った余りは, 62=36を7で割った
余り1に等しい。
a2019a2016
(α6) 336.3であるから, 求める余りは,
1336.6=6を7で割った余りに等しい。
したがって 求める余りは 6
(4) 2019
練習
②②
2 116 き,次の数を5で割った余りを求めよ。
(1) 6
(2) 3a-2b
(3) 62-4a
別解 割り算の余りの性質を
利用した解法。
(1) 2を7で割った余りは
2 (27.0+2) であるから,
a,bは整数とする。 αを5で割ると2余り, d²-b を5で割ると3余る。 このと
26 を7で割った余りは
2・48を7で割った余り1
に等しい。
ゆえに, a+26を7で割っ
た余りは3+1=4を7で
割った余りに等しい。
よって、求める余りは 4
(2) ab を7で割った余りは
3・4=12を7で割った余り
に等しい。
よって、求める余りは 5
(3)α を7で割った余りは
3* = 81 を7で割った余り
に等しい。
よって, 求める余りは4
(4) 299
(p.491 EX81 )
