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2から3a-8c
(2) 2進法で表すと 10桁となるような自然数は何個あるか。
なるという。このとき, a, b, cの値を求めよ。
自然数Nを5進法, 7進法で表すと, それぞれ3桁の数 abcs, cabn に
例題 130 n進法の応用
T1
441
(類阪南大)
(昭和女子大)
要 132
●S
p.437 基本事項 2
CHART
O
OLUTION
n進法で表された数 各位の数字はn-1以下
(1) abcs), cab()をそれぞれ10進法で表して考える。 月
その際, a, b, cは4以下, かつ aキ0, cキ0 であることに注意する。
(2) n進法で表すとa桁となる自然数xについて, n"-1<x<n が成り立つ。
また。mSxSn (m, n は整数)を満たす整数xの個数はnーm+1個。
解答
(1) 3桁の数 abc5), cab(n を考えるから
1SaS4, 0Sb<4, 1<c<4
- 5進数の各位は4以下,
の
最高位の数字は0でな
N=abcs)=cab(n であるから
い。
a-5?+b-5+c·5°=c·7?+a·7"+b·7°
4章
*10進法で統一して, 等
しいとおく。
整理すると
9a+26-24c=0
16
ゆえに
26=3(8c-3a)
*8c-3aは整数
2と3は互いに素であるから, bは3の倍数である。
よって,①から
[1] 630 のとき
これとのを満たす整数a, cは存在しない。
[2] 6=3 のとき0
b=0, 3
合3と8は互いに素であ
るから, aは8の倍数。
*533a+2<14 であるか
ら 8c=8
2から
8c=3a+2
これとのから
以上により
(2) 2進法で表すと 10桁となるような自然数をxとすると
a=2, c=1
a=2, b=3, c=1
-2°Sx<20+1 は誤り!
210-1Sx<20 すなわち 2°<x<2'0
この不等式を満たす自然数xの個数は
(210-1)-2°+1==2'0-2°=2°(2-1)=2°=512 (個)
-2°SxS2°-1 と考える。
合0, 1を9個並べる重複
順列(基本例題18参照)。
別解 2進法で表すと 10桁となる自然数は,
□□□のの口に 0または1を入れた数で
2°=512(個)
ロロ
あるから
「の都敵を8進法に直すと3桁の数 abce) となり, 7進法に直
「面戸女子薬大)
PRACTICE… 130®
整数の性質の活用
