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基本例題 84 円に内接する四角形の利用
二等辺三角形でない △ABCの辺BCの中点を通りBCに垂直な直線と、
△ABCの外接円との交点を P, Q とする。 P, Q から ABに垂線PR, QS をそ
れぞれ引くと, ARMS は直角三角形であることを示せ。
指針> ARMS をかいてみる (解答の図) と, M=90° すなわち ∠R+ ∠S=90°
となりそうだが,これを直接示すことは困難。 そこで, 前ページと同様に,
かくれた円を見つけ出し, 円周角の定理から等しい角を見つける
方針で進める。 特に, かくれた円をさがすには,
直角2つで四角形は円に内接する
こと (右図)を利用するとよい。
CHART 四角形と円 直角2つで円くなる
解答
PQは弦 BC の垂直二等分線であるから,
△ABCの外接円の直径で
∠PBQ=90°
ゆえに
∠BPM + ∠ BQM=90°•••・・･
口 ∠PRB=90° ∠PMB=90° であるから,
4点P, B, M, Rは1つの円周上にあっ
て
∠BPM=∠BRM
同様に
∠BSQ=90°, ∠BMQ=90°
であるから, 4点S, B, Q, Mも1つの円周上にあって
∠BQM=∠RSM
B
M
Q
A
① ② ③ から
∠BRM + ∠RSM=90°
したがって, ARMSは∠M=90°の直角三角形である。
C
直径を弦とする弧の円周角
は90°
100 X
円周角の定理
基本83
③は、円に内接する四角形
SBQM の内角と外角の関
係から。
検討
上の例題では,②,③から △PBQSARMS (2角相等)
よって
∠RMS=∠PBQ=90° と進めてもよい。
なお、4個以上の点が1つの円周上にあるとき, これらは 共円であるといい。これらの点を
共円点という。上の例題では, 点P, B, M, R; 点 S, B, Q, M がそれぞれ共円点である
(p.444 3 も参照)。
∠A=60°の△ABCの頂点 B C から直線CA, ABに下ろした垂線をそれぞれ
三角形である
練習
3 84 BD, CE とし, 辺BCの中点をMとする。 このとき, ADMFは正三角
ことを示せ。
