共線条件 (2)
基本例題 61
平行六面体 ABCD-EFGHにおいて, 辺AB, AD を 2:1に内分する点をそれぞ
00000
P Q とし, 平行四辺形 EFGH の対角線EGを1:2に内分する点をRとする
とき, 平行六面体の対角線 AG は PQR の重心K を通ることを証明せよ。
基本60
指針 AG は Kを通る 3点A, G, K が 一直線上にある
⇔AG=kAK となる実数がある
まず,点Aに関する位置ベクトル AB, AD, AE をそれぞれ6, d, として(表現を簡単
に), AG, AK を , d, e で表す。
解答
AB=1, AD=d, AE = " とする。
AP= 1/26, AQ= 2/2/31
また,AG=6+a+2
AR=2AE+AG_6+d+36
①から
3
ゆえに,PQR の重心Kについて
1
AK=— (AP+AQ+AR)
3
[H
また、
DX
練習
②261
E
K
1 2
6+d+3e
= ( ²²6 +²² à + ³+²+³) ³+d+ė
3
3
3
3
AG=3AK
① ①② から
したがって,対角線AGはPQR の重心K を通る。
検討
上の例題において, 辺AB, AD,線分 GE を t : (1-t)
( 0 t < 1) に内分する点を, それぞれP, Q, R とすると
AP=tb, AQ=td_68314
G
AG=6++ c から
AR=tAÉ+(1-t)AG=te+(1-t) (+d+e)
=(1-t)(b+d)+ē
F
B
ゆえに
AK=1/12 (t+t+(1-t) (6+2)+2=1/3+a+2)
よって
AG=3AK
_*(X+8_)
したがって,t の値に関係なく AG は △PQR の重心 K を通る。
baeは1次独立。
AP: PB=2:1
AQ: QD=2:1
ER: RG=1:2
結局, 点Kは△BDE の重
心である｡
H
1-tR
E
D
1-t
475
・K
G
AF
h
2章
9
位置ベクトル、ベクトルと図形
B
平行六面体 ABCD-EFGHで△BDE, ACHF の重心をそれぞれ P, Q とすると
き, 4点A, P, Q, G は一直線上にあることを証明せよ。
