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1. A particle of mass m moves in one-dimensional potential given by V(x) = Am cos(x) where λ, A > 0, with initial position xo and initial velocity vo. Draw a graph of the potential, and describe the motion of the particle in the following cases: TT a) x₁ = and v₁ = 0; 22 b) = = 0 and v0 = 0; 3πt 22 Xo c) Xo = - and vo= -2√A. - 2. A particle is dropped in the presence of Stokes drag Farag = -bv, where is the velocity of the particle and b> 0 is a constant. Write down the equation of motion in terms of , and show that the vertical component of the equation of motion is satisfied by: v₂(t) = mg 19 (exp(-)-1) b What is the terminal velocity of the particle? Is it possible to determine the terminal velocity without solving the equation of motion?

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1. A particle of mass m moves in one-dimensional potential given by V(x) = Am cos(x) where λ, A > 0, with initial position xo and initial velocity vo. Draw a graph of the potential, and describe the motion of the particle in the following cases: TT a) x₁ = and v₁ = 0; 22 b) = = 0 and v0 = 0; 3πt 22 Xo c) Xo = - and vo= -2√A. - 2. A particle is dropped in the presence of Stokes drag Farag = -bv, where is the velocity of the particle and b> 0 is a constant. Write down the equation of motion in terms of , and show that the vertical component of the equation of motion is satisfied by: v₂(t) = mg 19 (exp(-)-1) b What is the terminal velocity of the particle? Is it possible to determine the terminal velocity without solving the equation of motion?

画像の4.2の問題の解き方を教えてください。

106 K M X(T) M. F sin (NT) (1)X 100 -100 ( XImax 80 0 0 4 Dimensional Scaling Analysis + KX = F sin (2T), X(0) = Xo, 1 n 2 10 T 3 Fig. 4.1 The elementary problem of a mass on spring with an applied force: (Left) dimensional parameters, (Right) solutions X(T) for various parameters and (Inset) the amplitude in relation to the forcing frequency ada 4.2 The governing equation for the linear mass-spring system shown in Fig. 4.1 is d²X dT² dX dT\T=0 20 = Vo, where X(T) [m] is the position of the mass as a function of time with mass M [kg], and spring coefficient K [N/m], magnitude of the applied force, F [N], forcing frequency, 2 [s], as well as general initial conditions, Nondimensionalize and select length- and time-scales L, T to normalise the coef- ficients of the terms on the left side of the ODE and the initial condition for position. Write and solve the scaled problem, and identify the dimensionless parameter for the ratio of the forcing frequency to resonant frequency, where the solution's amplitude grows without bound, as shown for 22 in Fig. 4.1. 4.3 Consider the initial value problem for a damped driven nonlinear oscillator:

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106 K M X(T) M. F sin (NT) (1)X 100 -100 ( XImax 80 0 0 4 Dimensional Scaling Analysis + KX = F sin (2T), X(0) = Xo, 1 n 2 10 T 3 Fig. 4.1 The elementary problem of a mass on spring with an applied force: (Left) dimensional parameters, (Right) solutions X(T) for various parameters and (Inset) the amplitude in relation to the forcing frequency ada 4.2 The governing equation for the linear mass-spring system shown in Fig. 4.1 is d²X dT² dX dT\T=0 20 = Vo, where X(T) [m] is the position of the mass as a function of time with mass M [kg], and spring coefficient K [N/m], magnitude of the applied force, F [N], forcing frequency, 2 [s], as well as general initial conditions, Nondimensionalize and select length- and time-scales L, T to normalise the coef- ficients of the terms on the left side of the ODE and the initial condition for position. Write and solve the scaled problem, and identify the dimensionless parameter for the ratio of the forcing frequency to resonant frequency, where the solution's amplitude grows without bound, as shown for 22 in Fig. 4.1. 4.3 Consider the initial value problem for a damped driven nonlinear oscillator:

（3)最後の最後で解けませんでした、、 最初因数定理を使って試してましたけど無理かな、と思って諦めてました、 簡単な計算方はありますか？ 教えて欲しいです 展開して因数分解する方法しかないですか？

1 (B-α)3 7/14-894 Ley Point 156] E, う +1)x+aty =6 1 x+a}]dx (1-2a) ³ dx _2α)=36 y=a(x-1) x 436 (1) y=-x(x-2), y=tx からyを消去すると -x(x-2)=tx テーマ 面積の比からの係数決定 すなわち x{x-(2-t)}=0 よって a=2-t y=x(x-2), y = tx から を消去すると x(x-2)=tx すなわち よって 437 解答編 → = x{x-(2+t)}=0 Key Point [156] -12-0²-12+1² = β=2+t (2) S(t)=(-x(x-2)-tx)dx =-fox(x-ax)dx = 1/(a−0)³ = (2-1)³ t) (3) S2(t)=f(tx-x(x-2)}dx=-fox(x-β)dx t= これは0<t<2を満たす。 テーマ 面積の最大値 (1) #*+ (0515-²5) 12 α C₂ (3t-2)(3t² — 12t+28)=0 121 Si(t) と S2(t) の比が1:8のとき, 8S(t)=S2(t) であるから 8(2-t)^3=(2+t) d よって tは実数であるから 2 3 B x 54 +2₂ S-XXX-2 +X) BEA Key Point 156] | | |/ No. Date

赤く丸をしたbの問題で解答の方に二階微分した後の式がなぜ(-1/4)(-1/4)(H-27)になるのか分かりません。教えてください🙇‍♀️

QA At time t = 0, a boiled potato is taken from a pot on a stove and left to cool in a kitchen. The internal temperature of the potato is 91 degrees Celsius (°C) at time t = 0, and the internal temperature of the potato is greater than 27°C for all times t > 0. The internal temperature of the potato at time t minutes can be modeled by the function H that satisfies the differential equation dH (H- (H-27), where H(t) is dt measured in degrees Celsius and H(0) = 91. (a) Write an equation for the line tangent to the graph of Hat t = 0. Use this equation to approximate the internal temperature of the potato at time t = 3. (b) Use 2017 APⓇ CALCULUS AB FREE-RESPONSE QUESTIONS (a) dH d²H dt² to determine whether your answer in part (a) is an underestimate or an overestimate of the internal temperature of the potato at time t = 3. (c) For t < 10, an alternate model for the internal temperature of the potato at time 7 minutes is the function -= − (G - 27)²/3, where G(t) is measured in degrees Celsius dG G that satisfies the differential equation dt and G(0) = 91. Find an expression for G(t). Based on this model, what is the internal temperature of the potato at time t = 3 ? 564 at (21-27) - == 2-16 To = - = (H(3)-27) 4 -64 = HB)-27 -37 = H (3) (b) _d²fi © 2017 The College Board. Visit the College Board on the Web: www.collegeboard.org. GO ON TO THE NEXT P

上部の気体定数についてです。 ボイルシャルルの PV/T のVは体積なのに なぜモル体積(L/mol)を当てはめて 代入すると気体定数が出てくるんですか😭 ×1(mol)をして体積(L)に直さないんですか、？

2 気体の状態方程式 1 気体定数と気体の状態方程式 JEE PV T ●気体定数 ボイル・シャルルの法則 =k" について, k” の値を標準状 態 (0℃, 1.013×105 Pa) における気体 1mol の場合で求めてみる。 標準状態 における気体1mol の体積 (モル体積) を とすると,”は22.4L/molであり. k” は次のように求められる。 Pv 1.013×105 Pa×22.4L/mol T (7) 式で得られた値は, gas constant 記号 R で表される。 R を用いると, (7) 式は次のように表すことができる。 Pv=RT (8) AU ●気体の状態方程式 〔mol] の気体の場合,その体積V〔L〕は,モル体積 V n v 〔L/mol] のn倍であり, V = nv となる。 したがって, v= を (8)式に代入 AN すると,次のように表される。 これを気体の状態方程式という。 equation of state k"= = PV=nRT = 273 K (R=8.31×10Pa・L/ (K・mol)) 圧力×体積 物質量 気体定数 × 温度 [Pa〕 〔L〕 [mol〕 〔Pa・L/(K・mol)〕 〔K〕 × =8.31×10 Pa・L/(K・mol) (7) 気体定数とよばれ、 気体の種類によらず一定であり, 203 (9) 気体の圧力〔Pa〕, 体積〔L〕, 物質量〔mol], 絶対温度〔K〕のうちの3つがわ かれば,気体の状態方程式から,残る1つの値を求めることができる。 注意

(4)(5)はなぜPではなくCを使うんですか？

☆ equation のすべての文字を用いて, 順列をつくる. このとき, 次のようなものは何通りあるか. (1) e, n が両端にあるもの. (2) q, u, a となりあっているもの。 (3) q, u がとなりあっていないもの. t, i, o, n の順がこのままのもの. qがaより左にあり, tがaより右にあるもの。

右側のまるのところが分かりません。なぜ余りを割った時余りに等しくなるんですか？

8 多項式Pを(x+1)^ で割った余りは9であり, (x-1)^33 ✓で割った余りは1である。 Pを(x+1)^(x-1)2で割っ た余りを求めよ。 B 求める余りをRとする と, R を(x+1)2で割っ た余りは9, (x-1)2 で 割った余りは 1である。 品 式と証明

(4)はtion を一つとして5階乗ではなぜダメなんですか?

95 順列 (I) (場所指定) equation のすべての文字を用いて, 順列をつくる.このとき, 次のようなものは何通りあるか. (1) e, n が両端にあるもの. q, u, a がとなりあっているもの. (3) q, u がとなりあっていないもの. 土, i, 0, n の順がこのままのもの. q がaより左にあり, tがaより右にあるもの.