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重要 例題 211 導関数から関数決定 (2)
基本210
微分可能な関数 f(x) が f'(x)=e^-1| を満たし,f(1)=e であるとき, f(x) を
求めよ。
指針>条件f'(x)=le*-11から, f(x) = flex - 1/dxとすることはできな
い。 まず、
絶対値 場合に分けるから
x>0のとき f'(x)=ex-1
x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-e*+1
x>0のときは,A と条件f(1) =e から f(x) が決まる。 しかし、
x<0のときは、条件f(1) =e が利用できない。
そこで,関数f(x)はx=0で微分可能
limf(x)=limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。
解答
x>0のとき, e-1> 0 であるから
よって
e=e-1+C
f(1) = e であるから
ゆえに
C=1
したがって f(x)=ex-x+1
x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-e*+1
よって
f(x)=f(-ex+1)dx
よって
したがって
=-ex+x+D (Dは積分定数)
(2)
f(x)はx=0 で微分可能であるから, x=0 で連続である。
ゆえに
lim f(x)=lim f(x)=f(0)
+0
①から
limf(x)=lim (ex-x+1)=2
②から
limf(x)=lim (-ex+x+D)=-1+D
2=-1+D=f(0)
ゆえに D=3
f'(x)=ex-1
f(x)=f(ex-1)dx=e*-x+C (C は積分定数)
x→+0
x-0
このとき, lim-
x→0
π
lim
ん→+0
lim
h-0
x→+0
ex-1
x
0
f(x)=-ex+x+3
=1から
ƒ(h)-f(0)
h
fƒ(h)—ƒ(0)
h
=lim
ん→+0
=lim
=0
よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。
[e*-x+1
以上から
f(x)=
e-h-1
h
h-0
= 0,
-e+h+1
h
(x≥0)
−e³+x+3 (x<0)
で連続 (p.242 基本事項 ① ② ) に着目。
x=0
y₁
0
導関数f'(x) はその定義か
ら,xを含む開区間で扱う。
したがって, x>0,x<0の
区間で場合分けして考える。
lim
→+0
y=e²-1
f(x) は微分可能な関数。
lim
必要条件。
逆の確認。 p.257 も参照。
--ol
e^-1-1)
h
=(e^-1) + 1}
OIS
練習
211 1<x<1/12 とする。 f'(x)=|tan²x-1|, f(0)=0 であるとき、f(x)を求めよ。
3
<
4
