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第1章 数列
例題 B1.52n=k-1, k を仮定する数学的帰納法
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x=t+1 とし,P,=1+ t"
1 とおく (n=1,2,・・・・・). このとき, P は x
考え方
解答
t
次の多項式で表されることを示せ.
自然数nに関する証明については, 数学的帰納法を用いる. まずはオーソドックスに
考えてみよう.
(証明) (1) n=1 のとき,P,=t+1=x より成り立つ.
(I)n=k のとき,Px=+==(xk次の多項式)と仮定すると,
1
n=k+1 のとき, Pato=t+1+-
(+)-(++) (+)-
=xPk-Pk-1
ここで,Px=(xk次の多項式) と仮定しているから,xPはxの(k+1)次の多項式で
ある.しかし,P-」については,何次式なのか、xの多項式なのかもわからないつまり、
P& だけではなく、Pa」の次数についても仮定が必要になる.また,(II)で, n=k-1
とすると, n=1, 2,......であるから,k-1≧1 より k≧2 でなければならない。
wwwwwwwwwwwwww
m
(I) n=1 のとき,P,=t+==xより成り立つ.
n=2のとき,P2=f+
2=x2 より題意は成り立つ.
(II)n=k-1,k(k≧2) について, 題意が成り立つと仮定する.
IPkxの次の多項式
「Pk-1 は xの(k-1) 次の多項式
すなわち,
で表されると仮定すると,
Pati=tk+1+-
tk-1.
tk-1
=xPk-Pk-1
ここで, xPk は x×(xk次の多項式)より,
xの (k+1) 次の多項式となり,P-1 は xの(k-1)|
次の多項式であるから, Pk+1 は xの (k+1) 次の
多項式となる.
Ph-1 は xの (k-1) 次の多
式より,
Pk+1
よって, n=k+1 のときも題意は成り立つ.
(I) (II)より, すべての自然数nについて題意は成り
=(x
(k+1) 次の多項式
(x (k-1)次の多項
立つ
注》(I)でPがxの1次の多項式であることだけを示し, (II)の一般的な方法で, P2が
2次の多項式であることを示そうとすると, Po, P, が必要となり困る. (Poは定
れていない.)よって, (I)でP2 も調べておく必要がある.
なお、下の練習 B1.52は, フィボナッチ数列の一般項に関する問題である. (p.B1-74
52
自然数とするとき.4.1/5(1+2)-1/5(25)
は整数である
