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基本 例題 36 amt = ban+g” 型の漸化式
考えてみよう
指針 漸化式 an+1=pan+f(n) において, f(n)=g" の場合の解法の手順は
a1=3, an+1=2an+3 +1 によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
00000
基本
例題
- f(n)=
q
an
= -
②2] = 0, とおくと burl=0+1/
→
CHART
漸化式an+1=pan+α” 両辺を g"+1 で割る
①f(n) に n が含まれないようにするため, 漸化式の両辺を Q7+1で割る。
antp.an+1
g+1
=
g
gg"
a1=
15
= 5
指針
an+
〔信州大]
基本 34 基本 42 45.
ar
となり,nが含まれない。
・bn+1=b+の形に帰着。
1
②2
p.
an+1
an+1=2an+3n+1 の両辺を3n+1で割ると
3n+1
23
83
ar
+1
3'
解答
an=bm とおくと
3n
bn+1
==
12/20m+1
3
(S+
これを変形すると
bn+1-3= // (bn-3)
2
3
また
b-3=1-3-33-3-2
Q=
よって,数列{b,-3} は初項-2,公比 / の等比数列で
an+1=pantq など
既習の漸化式に帰着
させる。
特性方程式
a=1+1から
ま
>
2an
20-1.9
3+1
C
品
指針の方
an+
解答
①と
|a=3
と
2n-1
bn-3=-2
ゆえに
an
3n
2\n-1
3".
3-21
よって
an=3"bn=3.3"-3・2・2n-1(*)=3n+1-3.2
別解 an+1=2an+3+1 の両辺を 2n+1で割ると
an+1
an
2n+1
(+
=3.3.2.
2-1
3-1
lan+1=pan+gは、
辺を+1で割る
an
2n
= b とおくと bn+1=bn+
3n+1
2
また b1=
a1
3
=
でも解決できるが、
21
2
差数列型の漸化式の
よって, n≧2のとき
n_1/3 \k+1
k=12
3 n-1
n1/3 \2
3\k-1
k=1
処理になるので,計算
上の解答と比べ
や面倒である。
3
= +
2
=31
2
33-1
n=1のとき 3(2/2)-3-2127 b="から,①はn=1のときも成り立つ。
したがって
an=2"bn=3.3"-3・2"=3" + 1-3.2"
注意
