x 95. nが自然数のとき, 次の関数f(x) がそれぞれの範囲を満たすすべてのxで
続となるように、 定数αの値を定めよ。
□(1)*f(x)=lim
U
□ (2) f(x)=lim
考え方
解
例題15 ガウス記号を含む関数のグラフと連続性
教p.63 例題 13
関数y=x[x] (-2≦x≦1) のグラフをかけ。 また, x= -1, x=0 におけ
る連続性をそれぞれ調べよ。
[x]={
n→∞
実数αに対して, [a] はα以下の最大の整数を表す。
ここでは, -2≦x<-1 のとき, [x]=-2 であることなどを用いる。
1-2(-2≦x<-1)
-1 (−1≦x<0)
0 (0≦x<1)
xn+1+2x+ax+2 (x≥0)
x" +3
TOY
x2n-2+ax²+3
(xはすべての実数)
2n+1
x-0
x→0
11(x=1) 30 (3)
グラフは右の図のようになる。
f(x)=x[x] とする。
_lim_f(x)=2, lim_f(x)=1より, lim f(x)
x-1+0
1
x-1-0
が存在しないから,x=-1で不連続である。
limf(x)=0, limf(x)=0, f(0)=0 より,
より,
x→+0
limf(x)=f(0) が成り立つから, x=0 で連続である。
96. 次の関数のグラフをかけ。
-2x (-2≦x<-1)
-x (-1≤x<0)
(1) y=[x+1] (-2≦x≦2)
y= 0 (0≦x<1)
|1_ (x=1)
98 関数 f(x)=x2+
→例題 14
x²
x²
1+x² (1+x²)² + (1+x²)³ + ······
y A
14
12
(2)=[2x] (-1≦x≦1)
e
97. 関数f(x)=[x²] のx=0, x=1 における連続性をそれぞれ調べよ。
-2-1 O
- p.63|
の連続性を調べ。
99 関数 y=f(x) は 0≦x≦1において連続で, 0≦f(x) ≧1 である。 こ
方程式f(x)=xは 0≦x≦1において少なくとも1つの実数解をも
示せ。
■00. 方程式 2'=x" は, x<0 の範囲に, ただ1つの実数解をもつことを
