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α = ±4のとき 2個
a<-4, 4<αのとき
1個
1
y=a
-4
243 (1) f(x)=(x+x) 2x2 とすると
f'(x) =3x²-4x+1= (x-1) (31)
f'(x) = 0 とすると
x=
= 1
3'
x≧0において, f(x) の増減表は次のように
なる。
練習 242
α は定数とする。 方程式 x +3x²-9x-α = 0 の異なる実数解の
個数を調べよ。
テーマ 111 不等式の証明
xのときx3+6x2+8≧15x が成り立つことを証明せよ。
応用
考え方 不等式 A≧Bの証明 → 差をとって A-B0 を示すのが基本。
x=0のとき,f(x)=(x+6x2+8) 15x の最小値が0以上であることを
示す。
解答 f(x)=(x+6x2+8)-15x とすると
f'(x) =3x2+12x-15=3(x2+4x-5)
x
0
1
f'(x)
0 +
f(x) 8 V 0
7
x0 において, f(x) の増減表は右のようになる。
=3(x+5)(x-1)
よって, x≧0 において, f(x) はx=1で最小値0 をとる。
12
したがって, x≧0 のとき,f(x)≧0であるから(x+6x2+8)-15x≧ 0
すなわち x3+6x2+8≧15x
243 次の不等式を証明せよ。
第6章 微分法と積分法
x
0
13
1
f'(x)
+
0
0
+
極大
極小
f(x)
01
4
27
0
よって, x20において, f(x) は x=0, 1で
wm
最小値0をとる。
したがって,x≧0 のとき, f(x) ≧ 0 であるか
ら
(x+x) -2x20
すなわち x3+x≧2x2
(2) f(x) = (x+7x+1)-3x² とすると
f'(x) =3x²-6x+7=3(x-1)^+4> 0
よって, f(x) は常に増加する。
また, f(0) =1>0であるから,x≧0において
f(x)>0
したがって
すなわち
(x3+7x+1)-3x20
x3+7x +1>3x2
244 ① (12x2)'=24x
③ (x)'=3x2
② (x=4x3
④ (x+3)'=4x3
よって, 4x3 の原始関数であるものは
x≧0のとき x+x2x2
(2)x≧0 のとき x+7x+1>3x2
245 Cは積分定数とする。
(1) (与式)=-3fdx=-3x+C
(2)(与式)=7fxdx=7.1/2x+C=1/2x+c
