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108 面積
を実数とする.
放物線y=x-4.x+4
について,次の問いに答えよ.
･･1, 直線 y=mx-m+2......②
(1)②はmの値にかかわらず定点を通る. この点を求めよ.
(2) ① ②は異なる2点で交わることを示せ.
(3) ①,②の交点のx座標をα, β(a<B) とするとき, ①,②で囲
まれた部分の面積Sをα, βで表せ.
(4)Sをmで表し, Sの最小値とそのときのmの値を求めよ.
精講
-((+1)(-a)S
(1) 37 ですでに学んでいます. 「mの値にかかわらず｣ とくれば
「式をmについて整理して恒等式」 と考えます。
(2) 放物線と直線の位置関係は判別式を利用して判断します。
3) 106 ですでに学んでいますが,定積分の計算には101(2)を使います。
■)21 (解と係数の関係)を利用します。
Ja
+4)x+m+2}dx
α, Bは, 2-(m+4)x+m+2=0 の2解だから
=-f(x-a)(x-B)dx=(-a)³
169
(V) eo
注 紙面の都合で途中の計算は省略してありますが,101 (2) のようにき
ちんと書いてください。
(4) 解と係数の関係より, α+β=m+4,aβ=m+2_
参考
S=
(B-α)=(a+B)2-4aß= (m+4)2-4(m+2)
=m²+4m+8
S=((Ba)
6
{(B-a)²)=(m²+4m+8)
3
6
.(*)
{(m+2)2+4} 12 よりm=-2 のとき 最小値をとる。
3
(*)は,よく見ると(2)のDです. これは偶然ではありません.
ax2+bx+c=0 (a>0) の2解をα, B(α <B) とすると,
a==b-√D
B=-
-6+√D
B-α=
2a
-6+VD
2a
2a
-b-D D
2a
解答
a
(1)②より(-1)(y-2)=0
mについて整理
これがmの値にかかわらず成立するとき
x-1=0, y-2=0
本間は α=1のときですから, (β-α)²=(√D)=Dとなるのは当然.
このことからわかるように, 2解の差は判別式を用いて表すことも
可能で,必ずしも, α+β, aβ から求める必要はありません。
よって,mの値にかかわらず②が通る点は,(12)
(2)①②より,yを消去して
ポイント
x2-4x+4=mx-m+2
2-(m+4)x+m+2=0
L-
(x-a)(x-8)dr=-(-a)³
判別式をDとすると,
D=(m+4)2-4(m+2)
=m²+4m+8
=(m+2)^2+4>0
<D>0 を示せばよい
S=
=∫{(mr-m+2)-(-4x+4)}d
(2)
よって、①と②は異なる2点で交わる.
2
右図の色の部分がSを表すので
演習問題 108
O
a 1
2
2 BI
(2) ①②のグラスで囲まれ
面積が となるようなαの値
y=4-x?...... ①, y=a-x (αは実数) ••••••② について 次の
ものを求めよ.
(1) ①,②のグラフが異なる2点で交わるようなαの値の範囲
