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14 不等式の証明/誘導に乗る一
(ア)(1) エ, yが実数のとき, (すで。
2+y?(2+y
2
であることを証明せよ。
くて (て)
2
2
a?+26°+c?
a+26+c
であることを証明せよ。
(2) a, b, cが実数のとき,
4
4
(立命館大·文系)
(イ)((1) |z|<1, |y|<1のとき, zy+1>z+yを証明しなさい。
(2)また,(1)を用いて, |z|<1, |y|<1, |z|<1のとき, zyz+2>z+y+zを証明しなさい。
(岐阜経済大)
(2)が(1)を拡張したような形の式を証明するときは,(1)を利用して(2)を示
すことをまず考えよう.本間(ア)の場合,26°→6°+6, (イ)の場合,zy2→(ry) zとして, (1)に結び
(1)を活用する
つける。
ト)
■解答■
(ア)(1)(左辺)-(右辺)=D (2(z?+°)-(z+y)}}=(z-タ)20
番
となるから,証明された。
(2)(1)の不等式を用いると,
○(1)の不等式は,
○°+ロ?
1/a°+6?
62+c?
a+b
b+c
○+口 ?
(左辺)=-
2
2
2
2
2
2
2
ということ。
なお,(2)は,平方完成で直接
示すこともできる。
16{(左辺)-(右辺)}
=4(a°+262+c?)-(a+26+c)?
=3a°+46°+3c?
a+b
6+c
2
71
学い
も+Cとして
2
2
a+26+c
a+b
2
エ=
2
y=
2
2
L(1)を利用
(イ)(1)(左辺)-(右辺)=»y-e-y+1
=(z-1)(y-1)>0 (z<1, y<1だから)
-4ab-4bc-2ca
=46°-4(a+c)b
となるから,証明された。
+3a°-2ac+3c?
(2) w=zyとおくと, |2<1, lyl<1により, |w|<1である.よって,
(1)を用いると, wz+1>w+2
各辺に1を加え,ryz+2>(zy+1)+z
右辺に(1)を使い, Iyz+2>(zy+1)+z>(z+y)+2
となるから,証明された。
=4(6-052+2(a-c)*20
atc
. cyz+1>ry+z
014 演習題(解答は p.29)
ア)p, q, rをいずれも正数とする.
(1) XY-X-Y+1を因数分解しなさい。
(2) 2+29-2と 2+q-1の大小を比較しなさい。
(3) 2+29+2"ー3と 2*+q+r_1 の大小を比較しなさい。
イ) 次の(1), (2 )を証明せよ。
(龍谷大·文系)
(1)ェ2y20のとき,
(ア)(3)では,
20+q+r=2(D+q) +r と見る.
1+ェ
1+u
