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2+36
① 重要 45.4
よ」というこ
の形(係数は
■2(x2の係数
ように｡
囲の因数分解
〇因数分解。
る。
ないように
重要 例題 45 因数分解ができるための条件
x2+3xy+2y2-3x-5y+kがx,yの1次式の積に因数分解できるとき,定数k
の値を求めよ。また、その場合に,この式を因数分解せよ。
[東京薬大]
基本 44
と、次
い場合
指針 与式がx,yの1次式の積の形に因数分解できるということは,
(与式)=(ax+by+c) (px+qy+r)
解答
の形に表されるということである。 恒等式の性質を利用(検討参照)してもよいが,ここで
は,与式をxの2次式とみたとき, =0とおいたxの2次方程式の解がyの1次式で
なければならないと考えて, kの値を求めてみよう。
ポイントは,解がyの1次式であれば解の公式における
方式 [(整式)” の形の整式] となることである。······ ①
P=x2+3xy+2y²-3x-5y+k とすると
P=x2+3(y-1)x+2y²-5y+k
P=0を x についての2次方程式と考えると, 解の公式から
Pがx,yの1次式の積に因数分解できるためには、この解が
の1次式で表されなければならない。
[31] よって、根号内の式y'+2y+9-4k は完全平方式でなければな
らないから,y+2y+9-4k=0 の判別式をDとすると
D=1²-(9-4k)=4k-8=0 ゆえに k=2
4
x=
このとき
すなわち
よって
-3(y-1)±√9(y-1)²-4(2y²-5y+k)
2
-3(y-1)±√y2+2y+9-4k
2
x=
−3(y−1)± √(y+1)²
-3y+3±(y+1)
2
2
x=-y+2, -2y+1
P={x-(-y+2)}{x-(-2y+1)}
=(x+y-2)(x+2y-1)
検討 恒等式の性質の利用
x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y) であるから、与式カ
と (与式)=(x+y+a)(x+2y+b)
内がyについての完全平
x²の係数が1であるから,
xについて整理した方がら
くである。
この2つの解をα,βとす
ると, 複素数の範囲で考え
てP=(x-a)(x-β)
と因数分解される。
練習
④ 45 また,その場合に,この式を因数分解せよ。
(1) x2+xy-6y²-x+7y+k
■完全平方式
⇔=0が重解をもつ
⇔ 判別式 D=0
(y+1)^=ly+1である
が, ±がついているから,
y+1の符号で分ける必要
はない。
cyの1次式の積に因数分解できるとする
① と表される。
① は、xとyの恒等式であり,右辺を展開して整理すると
(与式)=x²+3xy+2y²+(a+b)x+(2a+b)y+αb となるから,両辺の係数を比較して
a+b=-3, 2a+b=-5,ab=k
これからんの値が求められる。 (1)
次の2次式がx,yの1次式の積に因数分解できるように,定数kの値を定めよ。
(2) 2x2-xy-3y2+5x-5y+k
77
2章
9
解と係数の関係、 解の存在範囲
