S=1·0+2·3 +3·39+4·39+……+n-3" 分数に分する (の.30)」 とい
一等差数列(初項1,公差1)
題 283
(等差数列)×(等比数列)の和
8-1
次の和を求めよ.
S=1-1+2-3+3·33+4·3°+……+n·3"
(同志社大·改)
え方 各項の前の部分に着目すると,
S=1·1+2-3+3·3°+4·3°+… +n-3"-!
全等差数列(初項1,公差1)
n
3,
4,
1, 2,
さらに,各項の後の部分に着目すると,
て分数の着
n-1
-1 等比数烈(初項1,公比3)
1,
3,
(22
wM
となる。
つまり, 一般項 anは, an=n·3"-1=(等差数列)×(等比数列)となる。
この形の数列の和は, 公比r(ここでは3)を利用して, S-rS を計算するとよい
解答 S=1·1+2·3+3·3*+4·3°+ +n·3"1
両辺に3を掛けると,
両辺に公比の3を掛
M
1-3+2-3+3-3°+…+(n-1)3"-14n-3"
2
ける。
3S=
0-2より,
-2S=1·1+(2-1).3+(3-2)-3°+(4-3)-3°+ 代
+{n-(n-1)}-3"-1ニn-3"
を通分す
=1·1+1·3+1·3°+1·3°+………+1-3"1-n-3"
=1+3+3°+33+ +3"-1-n 3"
は初項1,公比
+(3の等比数列の初項
から第n項までの和
ただし、の第1
項目が等比数列の初
項にならない場合も
M
~ w
1
-n.3"=
12
n37
2
3-1
1
1
4
3"
よって,
S=-
4
1
*37+
n-3"=2(2n-1)+-
ww
4
4
真の
らあケこ ケなこよ氷
ある。
Focus
a,=(等差数列)×(等比数列)の形をした数列の和S
→ S-rS を利用
