X3
EX
③83
a,bを実数とし,整式f(x)=x3+ax2+bxを考える。
(1)a,b
(1) f(-1)を用いて表せ。
(21)と(-1) がともに整数であれば、すべての整数nに対して, f(n) も整数となること
[ 関西大]
を証明せよ。
(1) f(1)=1+a+b, f(-1)=-1+α-bであるから
よってa+b=f(1)-1
a+b=f(1)-1...... ①, a-b=f(-1)+1
①+② から 2a=f(1)+f(-1) ゆえに α=
①-② から 26=f(1)-f(-1)-2
ゆえに
b=f(1)-f(-1)-2
2
(2) (1) から,整数nに対して
f (1)+f(-1)
f(n)=n³+
2
-n²+
= n³+
COUB 2
②
f(1)+f(-1)
ƒ(1)-f(-1)-2 n
2
28-
2/23
Se tratht
ONETANSSAN
2
n(n-1).f(-1)-n
n(n+1)
-•ƒ(1)+·
2
NON
n(n+1), n(n-1) は連続する2 整数の積であるから,ともに2
の倍数である。
a,bの連立方程式を
よって,
n(n+1) n(n−1)
2'
2
したがって, f(1), f(-1) がともに整数であれば,すべての整
数nに対して, f(n) も整数となる。
解く。
←f(x)
f(1)+f(-1)
=x3+
2
+ f(1)-f(-1)-2x
は整数である。)=(1-9)(1+1=1
X3
580
←n-nも整数。
SELECT AS
-x²
