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378
000000
重要 例題 250 曲線x = f(y) と面積
(1) 曲線x=-y²+2y-2, y軸、2直線y=-1, y=2で囲まれた図形の面積Sを
求めよ。
p. 358
(2) 曲線x=y2-3y と直線y=x で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
指針 関数x=f(y) は, y の値が定まるとそれに対応してxの値がちょうど1つ定まる。つまり、
xはyの関数である。 x = f(y) のグラフと面積に関しては, xy平面では左右の位置関係が
(笑)よろ
問題になる。
右のグラフから左のグラフを引くことになる。5月
(1) x=-(y-1)^-1であるから、グラフは,頂点が点(-1,1), 軸が直線y=1の放物線
KAMP
である。
→
HJANTUO KI GA KE 01221
(2) y²-3y=yの解がα, β(α<ß) のとき, p.352で学習した公式が同様に使える。
解答
(1) x=-y2+2y-2=-(y-1)^-1
[L-1≦x≦2ではー(y-1)-1 <0
であるから、 右の図より
[S)
S=-S(-y²+2y-2)dy
1³
3
S²(y-a)(y-B)dy=—— (B—a)³
+y2-
(2) _x=y²-3y=(y-2)²-2
=v
05(x)0
曲線と直線の交点のy座標は,
y2-3y=y すなわちy²-4y=0
を解くと, y(y-40から
y = 0, 4
よって、 右の図から, 求める面積は
28 x
図 S=(y- (v2-3y)}dy
=-{(-18 +4-4)-(1/3+1+2)}-6
4-4) - ( ²3 + 1 + 2)} = 661-21 (21-4
3
9
6
= £1 C00=(2xảy
0≤ (x) #5 12x20
xh(x- y₁
-5
9
4
YA
SV-S
a
-21
4
3
320
であるから
=f'(v²-4y)dy=-Sy(y-4)dyリーであり、定義が
32
=-(-1) (4-0)³-3²0
6
図形の面積Sを求めて
2
1
O x
4 x
a
2曲線間の面積 EL
区間 c≦y≦dで常に
f(y)≧g(y) のとき,
2曲線x=f(y), x=g(y) と
2直線y=c, y=dで囲まれ
た図形の面積Sは
s=${f(y)=g(y)}dy
YA
xx=g(yd
0
S
x=f(y)
131
右のグラフから左のグ
ラフを引く
y軸はx=0であるから
(1) S², (0-f(x))dy
(4) KL
(2)(x-(y)ldy
を計算することになる。」
Sv=1
積
で
を求
部分
まそ
ま
を作
より
に近
実
と、
y
0
で
方形
分
n
