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基本 例題 55 剰余の定理利用による余りの問題 (1)
00000
(1) 多項式 P(x) を x-1で割ると余りは5, x-2で割ると余りは7となる。
のとき,P(x) をx2-3x+2で割った余りを求めよ。o+x=(x)q左員[近畿大]
類
°
(2) 多項式 P(x) を x2-1で割ると4x-3余り,x2-4で割ると3x+5余る。
のとき,P(x) をx2+3x+2で割った余りを求めよ。 +x=
P(a)
●基本 54 重要 57
指針 P(x) が具体的に与えられていないから、実際に割り算して余りを求めるわけにはいか
ない。このような場合, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 (1)
特に、余りR の次数が割る式Bの次数より低いことが重要なポイント!
2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+b とおける。
条件から,このa,bの値を決定したい。 それには,割り算の等式 A=BQ+R で,
B=0 となるxの値(これを●とする)を考えて,P(●) の値を利用する。
CHART
基本等式 A=BQ+R
割り算の問題
1 R の次数に注意 2 B=0 を考える
解答
(1) P(x) をx2-3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったと
きの商をQ(x), 余りを ax+b とすると, 次の等式が成り
この立つ。組
20
P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b
条件から P(1)=5
P(2)=7
ゆえに a+b=5
ゆえに
2a+b=7
(S)
①
剰余の定理。 また,
の両辺にx=1 を代入
2次式で割った余りは,
1次式または定数。
Job
B=(x-1)(x-2)
①,②を連立して解くと
よって, 求める余りは 2x+3
(2) P(x) をx2+3 +2 すなわち (x+1)(x+2) で割ったと
きの商をQ(x), 余りを ax+b とすると,次の等式が成り
立つ。
+α=2,b=3 -) 0+ (=) +32 P(1) = a+b
P(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b
また,P(x) を x2-1, x2 -4 すなわち (x+1)(x-1),d-p
(x+2)(x-2) で割ったときの商をそれぞれQi(x),Q2(x)
とすると P(x)=(x+1)(x-1)Q1(x)+4x-3
P(x)=(x+2)(x-2)Q2(x)+3x+5
*****
.......
①
②
①から P(-1)=-7 これとイから-a+b=-7S
②から P(-2)=-1
これとイから-2a+b=-1
④を連立して解くと α=-6,6-13
2次式で割った余りは,
1次式または定数。
B=(x+1)(x+2)
a,bの値を決定する
ためには,P(-1),
で,①,②にそれぞれ
P(-2) が必要。 そこ
x=-1, x=-2を代
.......
③
求める余りは6x-13
