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68
基本 例題 70 直線と平面の交点の位置ベクトル(2)
00000
R を辺BCの中点とする。 P,Q,R を通る平面と辺 AC の交点をSとする。
四面体 OABC において, P をOAの中点, Q を辺OB を2:1に内分する点
OA=d, OB=b, OC とおく。
(1) PQ, PR をそれぞれa, b, c を用いて表せ。
(2)比|AS|: |SC | を求めよ。
[類 神戸大]
基本69
指針 (2) 基本例題 69 と同様に, 点Sは「3点P,Q,R を通る平面上」にも「辺AC上」
にもあると考え, OS を a, b, c を用いて, 2通りに表して係数比較をする。
その際, 「3点P, Q, R を通る平面上」 にある条件については,(1)の結果 (PQ,
をそれぞれà, 1, で表している) が使えるから, 次を利用する。
点Sは3点P,Q,R を通る平面上にある
⇔P$=sPQ+tPR となる実数 s, tがある
+2/
基本例
四面体 O
を証明せ
(1) OB_
指針
JEST
1→
(1) PQ=0Q-OP=
a+
解答
6+ 1
1→
PR=OR-OP=
a=―
12 2
a+
+
と表される。 (1) の結果から
OS=OP+PS
←L
S
a+
(2)Sは3点P, Q, R を通る平面上にあるから
PS=sPQ+tPR (s, tは実数)
65=1OP+moathOR(l,man 実数) B
12/20to/1/21+1/+1/12/+/12/6+/12/2
a+
A
Q
S
*C
R
としても良いが、数が4つになり主の言葉が大変
(
1-s-t
2
t
a+
2
s+ 6+ C
t→
①
①を導いた段階で,「点
2
また,点Sは辺AC上にあるから,
AS: SC=u: (1-u) とすると
OS=(1-u)a+uc
②040 パチ
4点 0, A, B, C は同じ平面上にないから、①,② より
1-5-1-1-1 3/28+1/2=0.1/2
=1-u,
2
これを解いて
4
s=-1,t=
u=
3'
3
よって
|AS|:|SC|=
2
:
3
=2:1
3
t = u
Sは線分AC上にある
から
1-s-t
+
11/23s+1/2=01
) 身長
=1,
-=0」
として考えてもよい。
「するとき
取り!
は重要である。い
5
Pd
(1)
練習 四面体 OABCにおいて、線分
③ 70 内分する点
解答
