2 O 変数のおき換え 変域が変わる に注意すると
基本 例題14ク 三角関数の最大最小(2) …文字係数を含む
指針>前ページの基本例題141 と同様に,2次関数の最大·最小問題に帰着させる。
22:
OO0
2-sin'o(-505)の最大値をaの式で表せ。
リ=2a cos 0+
基本 141
まず、cos の1種類の式で表し, cos0=x とおくと
ソ=x?+2ax+1
0Sx<1
したがって,0<x<1における関数 y=x°+2ax+1の最大値を求める問題になる。
よって,軸x=ーaと区間0<x<1の位置関係で,次のように 場合を分ける。
軸が区間の[1] 中央より左側
2
[2] 中央と一致
[3] 中央より右側
1種類で表す
CHART 三角関数の式の扱い
sin
→ COs の変身自在に sin'0+cos'0=1
解答
y=2acos0+2-sin'0=2acos0+2-(1-cos'0)
=Cos°0+2acos 0+1
Asin'0+cos°0=1
い Acos0 だけで表す。
Cos 0=x とおくと
y=x°+2ax+1
Tπ
s0S;であるから
0Sx<1
の
4xの変域に要注意!
f(x)=x°+2ax+1とすると
リ=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=-a
f(x)=(x+a)°+1-a°
(8
(Oの範囲における
ソ=x°+2ax+1 の最大値
を求める。
また区間のの中央の値は
軸
最大
F(0)=1, f(1)==2a+2
-aく-
1
すなわち a>--のと
a1
1
2
(軸が、区間①の中央より
x
左側。
2
0
最大値は
f(1)=2a+2
2]
1
[2]\y=f(x)
軸
1
すなわち
2
ーーのとき
(軸が,区間のの中央と一
-a=
2
最大 ン最大
致。
最大値は
f(0)=f(1)=1
13] -a>-
0 1
1
2
x
すなわち a<--のとき
(軸が,区間のの中央より
右側。
最大値は
f(0)=1
よって
のとき 2a+2,
xお最大
軸
答えでは,[2] と [3] をま
a>
とめた。
ハーーのとき 1
<とき
ー1のとき
0
a1
2
x
