Q1. nを自然数とするとき,等式
13 +2 +3 + ... + n3 =
• + n³ =
-{- n(n+1)} ²...
①
が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。
[1] n = 1のとき
(左辺)=13
1
1
(右辺)=( 1 1.2)2 = 1
2
よって, ①は n=1のとき成り立つ。
[2] ①がn=kのとき成り立つ、すなわち,
{ k(k+1)
と仮定して,n=k+1のとき① が成り立つことを示
す。
13 + 2° + 3° + ‥.. + k =
=
=
=
=
=
=
1 + 2° + 3° + ‥.. + k' + (k + 1)3
k³
{ ½ ke(k+1}}²
+ (k+ 1)³ (②より)
k² (k+ 1)² + (k+1)³
4
1
(k+ 1)²{k² + 4(k+1)}
2
-1)}²
4
1
(k + 1)² (k² + 4k + 4)
1
(k+ 1)² (k+ 2)²
2
【1】
よって, ① は n=k+1のときにも成り立つ。
[1],[2] より,すべての自然数nについて①が成り立
つ。
