重要 例題 31 自然数の表と群数列
自然数1,2,3,
るか。
(2)150は左から何番目,上から何番目の位置にあ
左から3番目、上から番目の位置にある自
然数を用いて表せ。
を、右の図のように並べる。
1
2
5 10 17
...
4
3
6 11 18
9 8 7
12
[類 宮崎大 ]
16 15 14 13
基本29
...
群数列 12, 3, 45, 6, 7, 8, 10, 11,
指針
で考える。
455
(左から3番目、上から番目の数は,上の群数列で第 ㎖ 群
の番目となる。
(2)150が第群に含まれるとする。 第(m-1) 群までの項数に
注目して,まず 150 が第何群の何番目の項であるかを調べる。
解答
並べられた自然数を,次のように群に分けて考える。
1|2, 3, 4│5, 6, 7, 8, 9|10, 11,
①
125 10
43611
98712
16 15 14 13
...
……」これの数
検討番目たて
(1) 行列の正方形を考え
ると、図のようになる。
1
(1)①の第1群から第群までの項数は
=
1+3+5+....+ (2m-1)
=1/12m{1+(2m-1)}=m²
(m-1)2→
左から3番目、上から番目は、①の第群のm
番目の位置にあるから
m²
m個
1章
③種々の数列
個
(m-1)2+m=m²-m+1
(2)150が第群に含まれるとすると
(m-1)<150≤m²
122150132から,この不等式を満たす自然数 m
は
m=13
第12群までの項数は122=144であるから, 150 は第
13 群の 150-144=6番目)である。
また,第13群の中央の数は13番目の項で 6<13
よって、 150は左から13番目, 上から6番目の位
置にある。
□には(m-1)2+m
=m²-m+1が入る。
(2)122150132 であるから,
上の図でm=13の場合を考
える。なお,例えば,165 は
同じ第13群の21番目である
が, 1321 より 左から
132-165+1=5 (番目),上か
ら13番目である。
