68. 《図形と最大・最小 (微分法)》
解答 (アイ)-2 (ウ) 1
(エ) 3
(オ) 2
(カ) 2 (キ) 2
(ク) 4
(ケ) 3
(コ) 3 (サ)2
(シス) 1
(セ) 4
◇◆思考の流れ◆◇
直線 PHはx軸に垂直であるから,△PHBの面積
S(α) を求めるときは, 線分 PH を底辺と考えると
よい。 S(α) の最大値は,微分法を利用して求める。
y=3x2 と y=x2-2x+4の交点のx座標は, 方程式
3x2=x²-2x+4 すなわち x2 + x-2=0の解である。
よって (x+2)(x-1)=0
ゆえに
x=-2,1
したがって, 2点A, B の x 座標はそれぞれ2,1
点Hは, 放物線y=3x2上にあり,かつx座標がαで
あるから, y 座標は3a2
よって, 点Hの座標は
y
(a, 3a²)
また, 点Pの座標は
A
(a, a2-2a+4)
ゆえに,-2<a<1の
D
H
とき, 右の図から
4
B
PH= (a2-2a+4) - 3a 2
-2 a
O
1
x
=-2a2−2a+4
よって, 線分 PH を PHB の底辺と考えると,
△PHB の高さは1-αであるから
S(4)=1/2 PH (1-α)
=1/12(−2a2-2a+4)(1-a)
=(a2+a-2)(a-1)
=α3-3a+2
ゆえに S'(a)=3a2-3
=3(a+1)(a-1)
S' (a) =0 とすると a=-1, 1
-2<a<1における S(α) の増減表は次のようになる。
a
-2
...
-1
...
1
S'(a)
S(a)
+ 0
4
したがって, S(α) はα=-1のとき最大値4をとる。
