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例題 126 正領域 負領域 ★★★☆
座標平面上に2点A(1, 1), B(3,6)がある。 図
...
(1) 放物線y = x2 +2ax ... ① に関して, 2点A, B が互いに反対側にあ
るようなαの値の範囲を求めよ。
(2)直線
･･ ② が2点A,Bを結ぶ線分と共有点をもつとき、
点 (m,n) の存在範囲を mn 平面上に図示せよ。
条件の言い換え
(1)(x,y)=(1,1) (36) を代入すると
0<8/
思考プロセス
一方はyx+2ax, 他方はy<x2 +2ax を満たす。
⇒ 一方はx+2ax-y < 0,他方は+2ax-y>0を満たす。
Jf(1,1) < 0
lf(3.6) > 0
A or B
Jf(1,1) > 0
f(1, 1)f(3, 6)
または
(3.6) <0°
が異符号
A or B
f(1, 1) f(3, 6) <0
(2)2点A, B が直線②に関して互いに反対側にある。
Action» 領域を2つに分ける場合は,f(x,y) の積の正負を考えよ
解 (1) f(x, y) = x2 +2ax-y とおくと, 2点A, Bが放物
線 ①に関して互いに反対側にあるための条件はす
f(1, 1) f(3, 6) <0
f(1, 1) = 2a, f (3,6)=3+6a より
2a(3+6a) < 0
>
①組織代人
S
1
a+
<0
よって
-
1/20
<a<0
(2)g(x, y) =mx+n-y とおくと, 直線 ②が線分AB
と共有点をもつための条件は
よって
g(1, 1) g(3, 6) ≤ 0
(m+n-1)(3m+n-60
ゆえに [m+n-1≧0
13m+n-6≦0
直線 ② 線分AB と共
有点をもつということは,
2点A, B が直線 ② に関
して互いに反対側にある
直線 ②上にあることと
Jm+n-1≦0.同値である。
13m+n-6≧0n≧-m+1
または
したがって,これらを mn
平面上に図示すると右の
図の斜線部分である。
(29-
An
16
3m+n-6=0
m+n-1=0
2
-2
ただし、境界線を含む。
n≦-3m+6
または
5 IS
mx
(n≤ -m+1
In≥-3m+6
練習 126 座標平面上に2点
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