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10 和と一般項の関係, 3 項間漸化式 -
数列{an}が, a=-1,22ar=3an+1-24-1 (n=1, 2, 3, ...)を満たすとき,
(1) az を求めよ.
(2) 3an+2-70n+1+20m=0を示せ.
(3) am を求めよ.
an=S-S1
(山形大工/一部省略)
S” を含む漸化式は, 「an=S-S-1 (n≧2)」......☆を用いて, S を消去し,4
だけの漸化式に直す. ☆は一般にはn≧2のときのみに通用することに注意 (n=1 とするとn-1=0
になってしまう!). n=1のときは, α = S」 を用いる。
an+2+pan+1+gan=0 an+2+pan+1+ga=0の一般項を求めるには,r' + pr+g=0の解α,βを
用いる. 解と係数の関係より, か=-(a+β), q=aB. よって, an+2-(a+β)an+1+αBa=0. これを
an+2-αan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=α (an+1-Ba) と変形する.
α=βのときは,an+2-αan+1=α (an+1-αan)より, an+1-4a=an-1 (a2-aa)として,
an+1=αan+san-1 (s=az-aa1). これをα+1で割り, bn=alα" とおくと {bm} は等差数列になる.
解答
Sn=ax とおくと,2S=3an+1-24-1
(1) ① n=1 とすると, 2S1=3a2-241-1
S=q=-1だから, -2=3a2+2-1
∴. a2=-1
(2) ①のnをn +1 にすると, 2Sn+1=3an+2-2an+1-1
②-①より, 20+1=34n+2-34n+1-2an+1 +2an
:.34n+2-7an+1+2an=0
(3) (2)より, an+2
7
2
13an+1+1/30m=0
[右の傍注に注意し] ③を変形して
1
an+2-24n+1=1/22 (an+1-2an) ④, an+2
(ant1-20),ant2-1/30nt1-2 (0mts-1230円)
\1
1\n-1
an+1-
←S+1-Sn=an+1
7
③ rr+
x+2=0の解
---
3
(2) (11/23)により
....5
1
x=2.
3
⑥④より{an+1-2cm} は公比 1/3
の
等比数列.
2-1 ...... 7
a-(—)" (az−2a1) = ( )" (−1+2)=(3)-
=(1/1)
3
④より, an+1-2an=
⑤より, an+1一
an=2n-1
a2
12-130-20-(02/24)-20-1(-1+1/3)-(-/3/3) 2
=2"
よって,
3
n-1
・2"-1-
10 演習題 (解答は p.76)
2Sn2
数列{a} は,q=1, an=
(n=2, 3, 4, ...) を満たす.
2Sn+1
ただし, Sn=a+az+... +an である.
(1)a2 を求めよ.
(2) SS-1 を用いて表せ.
(3) S
(2) 前文に反しか
らを消去する.
C
(芝浦工大)
(3)
11を参照。
