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OO000
基本 例題129 1次不定方程式の応用問題
3で割ると2余り、5で割ると3余り,7で割ると4余るような自然数nで最小の
基本 127,128
ものを求めよ。
指針> 3で割ると2余る自然数は 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,
5で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18, 23,
よって,「3 で割ると2余り, 5で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると
が共通の数。
8が最小である。
43と5の最小公倍数 15ずつ大きくなる。
の 8,23, 38, 53. 68,
また,7で割ると4余る自然数は® 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53
の, B から,求める最小の自然数は 53 であることがわかる。
このように,書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな
い(相当多くの数の書き上げが必要な)場合は非効率的である。
そこで,問題の条件を 1次不定方程式に帰着させ,その解を求める方針で解いてみよう。
解答
nはx, y, zを整数として,次のように表される。
n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4
3x-5y=1
注意 3x+2=5y+3
かつ 5y+3=7z+4
として解いてもよいが、係
数が小さい方が処理しやす
の
3x+2=5y+3 から
x=2, y=1 は, ①の整数解の1つであるから
3(x-2)-5(y-1)=0 すなわち 3(x-2)35(y-1)
3と5は互いに素であるから, kを整数として, x-2=5k と表
される。よって
い。
x=5k+2(kは整数)
の
このとき y=3k+1
A 3x-7z=2から
3(x-3)-7(z-1)=0
ゆえに,1を整数として
2を3x+2=7z+4に代入して
3(5k+2)+2=7z+4
ゆえに
72-15k=4
z=-8, k=-4は, ③ の整数解の1つであるから
7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(k+4)
7と 15 は互いに素であるから, 1を整数として, z+8=15/ と
表される。よって
これをn=7z+4に代入して n=7(15/-8)+4=105/-52 8
最小となる自然数nは, I=1を代入して
x=71+3
これとx=5k+2を等置し
て 5k+2=71+3
よって 5k-71=1
これより,k, Iが求められ
るが,方程式を解く手間
1つ増える。
ス=15/-8(7は整数)
53
検討百五減算
ある人の年齢を3, 5, 7でそれぞれ割ったときの0
とす
